课后限时集训(十) 函数的奇偶性与周期性建议用时：40分钟一、选择题1．下列函数中，为偶函数的是( )A．y＝(x＋1)2B．y＝2－xC．y＝|sinx|D．y＝lg(x＋1)＋lg(x－1)C [对于A，函数图象关于x＝－1对称，故排除A．对于B，f(－x)＝2x≠f(x)，函数不是偶函数．对于C，f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sinx|＝|sinx|＝f(x)，因此函数是偶函数．对于D，由得x＞1，函数的定义域为(1，＋∞)，定义域不关于原点对称，因此函数不是偶函数，故选C．]2．函数f(x)＝的图象( )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称B [因为f(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．]3．设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数．当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，则f＝( )A．－B．－C．D．C [由题意知f＝f＝f＝－f＝－＝，故选C．]4．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上是( )A．增函数且最小值为－5B．增函数且最大值为－5C．减函数且最小值为－5D．减函数且最大值为－5C [由题意知，函数f(x)在区间[3,7]上是减函数且f(7)为最小值，又f(－7)＝5，则f(7)＝－f(－7)＝－5，故选C．]\n5．已知函数f(x)＝a－(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为( )A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－3,3)D．(－4,4)A [法一：由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，所以a－＝－a＋，得2a＝＋，所以a＝＋＝1，所以f(x)＝1－.因为ex＋1＞1，所以0＜＜1，－1＜1－＜1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－.因为ex＋1＞1，所以0＜＜1，－1＜1－＜1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．]6．已知函数f(x)＝为奇函数，则f(a)＝( )A．－1B．1C．0D．±1C [∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则有f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，即2a＝－2，得a＝－1(符合题意)，∴f(x)＝∴f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0.]二、填空题7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝log2(－x)，则f(f(2))＝________.0 [f(2)＝－f(－2)＝－log22＝－1，所以f(f(2))＝f(－1)＝log21＝0.]8．已知f(x)是R上的偶函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－x－1，则当x＜0时，f(x)＝________.x2＋x－1 [当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1，又f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x2＋x－1.]9．已知函数f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝________.－4 [法一：f(a)＋f(－a)＝＋＝－2.∴f(－a)＝－2－f(a)＝－4.法二：由已知得f(a)＝a＋－1＝2，即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.]\n三、解答题10．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．[解] 当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.综上可得f(x)的解析式为f(x)＝11．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值．[解] (1)由f＝－f，且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＝－f＝－f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数．故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，即g(－x)＝g(x)恒成立，于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.1．已知函数f(x)＝ln(e＋x)－ln(e－x)，则f(x)是( )A．奇函数，且在(0，e)上是增函数B．奇函数，且在(0，e)上是减函数C．偶函数，且在(0，e)上是增函数\nD．偶函数，且在(0，e)上是减函数A [由得－e＜x＜e，即函数f(x)的定义域为(－e，e)，又f(－x)＝ln(e－x)－ln(e＋x)＝－f(x)，因而f(x)是奇函数，又函数y＝ln(e＋x)是增函数，y＝ln(e－x)是减函数，则f(x)＝ln(e＋x)－ln(e－x)为增函数，故选A．]2．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )A．ex－e－xB．(ex＋e－x)C．(e－x－ex)D．(ex－e－x)D [因为f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(ex－e－x)．]3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．[解] (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．1．已知函数f(x)＝log2(－x)是奇函数，则a＝________，若g(x)＝则g(g(－1))＝______.1 [由f(x)＝log2(－x)得－x＞0，则a＞0，所以函数f(x)的定义域为R.因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝log2＝0，解得a＝1.所以g(－1)＝f(－1)＝log2(＋1)＞0，g(g(－1))＝2－1＝.]2．对于函数f(x)，若在定义域D内存在实数x0满足f(2－x0)＝－f(x0)，则称函数y＝f(x)为“类对称函数”．(1)判断函数g(x)＝x2－2x＋1是否为“类对称函数”？若是，求出所有满足条件的x0的值；若不是，请说明理由；(2)若函数h(x)＝3x＋t为定义在(－1,3)上的“类对称函数”，求实数t的取值范围．[解] (1)是，且满足条件的x0为1.\ng(x)＝(x－1)2，设实数x0满足g(2－x0)＝－g(x0)，即(2－x0－1)2＝－(x0－1)2，解得x0＝1，所以函数g(x)是“类对称函数”，且满足条件的x0为1.(2)因为h(x)是“类对称函数”，所以存在x0∈(－1,3)，使得32－x0＋t＝－(3＋t)，
