课后限时集训(九) 函数的单调性与最值建议用时：40分钟一、选择题1．(多选)(2020·福建晋江惠安一中月考)下列函数中，在区间(0,1)上单调递减的是( )A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝D．y＝－x2＋4BCD [当x∈(0,1)时，y＝|x|＝x，所以y＝|x|在(0,1)上单调递增；y＝3－x，y＝在(0,1)上均单调递减；y＝－x2＋4的图象是开口向下，以直线x＝0为对称轴的抛物线，所以y＝－x2＋4在(0,1)上单调递减．]2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是( )A．B．－C．－2D．2A [函数f(x)＝－x＋在(－∞，0)上是减函数，则函数f(x)在上的最大值为f(－2)＝2－＝，故选A.]3．函数f(x)＝x－|1－x|的单调递增区间为( )A．(－∞，0)B．(－∞，1]C．(0，＋∞)D．[1，＋∞)B [f(x)＝因此函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，故选B.]4．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是( )A．(－∞，1]B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)A [f(x)＝由题意知－a≥－1，即a≤1，故选A.]5．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是( )A.B．\nC.D．D [因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f.所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.]6．函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是( )A．(1,2)B．(－1,2)C．[1,2)D．[－1,2)D [∵函数y＝＝＝－1，∴当x∈(－1，＋∞)时，函数是减函数，又当x＝2时，y＝0，∴－1≤m＜2，故选D.]二、填空题7．已知函数f(x)＝lnx＋x，若f(a2－a)＞f(a＋3)，则正实数a的取值范围是________．(3，＋∞) [因为f(x)＝lnx＋x在(0，＋∞)上是增函数，所以解得－3＜a＜－1或a＞3.又a＞0，所以a＞3.]8．函数f(x)＝－的值域为________．[－，] [因为所以－2≤x≤4，所以函数f(x)的定义域为[－2,4]．又y1＝，y2＝－在区间[－2,4]上均为减函数，所以f(x)＝－在[－2,4]上为减函数，所以f(4)≤f(x)≤f(－2)．即－≤f(x)≤.]9．(2020·长春模拟)若函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________．(0,3] [由题意知解得0＜m≤3.]三、解答题10．已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．\n[解] (1)证明：任取x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝，∵x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f(x)在上是增函数，∴f＝－2＝，f(2)＝－＝2，解得a＝.11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F(x)＝(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．[解] (1)∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1.由f(x)≥0恒成立，知a>0且方程ax2＋bx＋1＝0中Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，∴a＝1.从而f(x)＝x2＋2x＋1.∴F(x)＝(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，由g(x)在[－2,2]上是单调函数，知－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6.即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．1．(多选)(2020·山东淄博实验中学期中)对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列说法中正确的是( )A．f(－3.9)＝f(4.1)B．函数f(x)的最大值为1C．函数f(x)的最小值为0D．方程f(x)－＝0有无数个根ACD [f(－3.9)＝－3.9－[－3.9]＝－3.9－(－4)＝0.1，f(4.1)＝4.1－[4.1]＝4.1－4＝0.1，A正确；显然x－1＜[x]≤x，因此0≤x－[x]＜1，∴f(x\n)无最大值，但有最小值且最小值为0，B错误，C正确；方程f(x)－＝0的解为x＝k＋(k∈Z)，D正确．故选ACD.]2．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．[0,1) [由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．]3．已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝时，用定义证明函数的单调性并求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．[解] (1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，任取1≤x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝.因为1≤x1＜x2，所以x1x2＞1，所以2x1x2－1＞0.又x1－x2＜0，所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.(2)因为在区间[1，＋∞)上，f(x)＝＞0恒成立，则⇔等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．因为φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以当x＝1时，φ(x)取最大值为φ(1)＝－3，所以a＞－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．1．(多选)(2020·济南市期末)对于定义域为D的函数f(x)，若存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f(x)在[m，n]上是单调的，②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是( )A．f(x)＝x3B．f(x)＝3－C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝lnx＋2ABD [对于A，y＝x3在R上单调递增，若存在区间[m，n]，m＜n，使解得或\n所以存在区间[－1,0]，[－1,1]，[0,1]满足条件，所以A存在“和谐区间”；对于B，f(x)＝3－在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，设m＜n＜0或0＜m＜n，满足解得所以存在区间[1,2]满足条件，所以B存在“和谐区间”；对于C，y＝ex－1在R上单调递增，若存在区间[m，n]，m＜n，使即ex＝x＋1有两个不等实数根，但函数y＝ex的图象与直线y＝x＋1相切于点(0,1)，所以ex＝x＋1没有两个不等实数根，所以C不存在“和谐区间”；对于D，y＝lnx＋2在(0，＋∞)上单调递增，若存在区间[m，n]，m＜n，使即lnx＋2＝x有两个不等实数根，转化为lnx＝x－2，即y＝lnx的图象与直线y＝x－2有两个不同的交点，易知满足条件，所以D存在“和谐区间”．故选ABD.]2．已知定义在R上的函数f(x)满足①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x＞0时，f(x)＞－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调递增函数．(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4.[解] (1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调递增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4，得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1＞5，即f(x2＋x＋1)＞f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．
