课后限时集训(十六) 函数与方程建议用时：40分钟一、选择题1．(2020·开封模拟)已知方程lgx＋＝0的根为x0，则下列说法正确的是( )A．x0∈(0,1)B．x0∈(1,10)C．x0∈(10,100)D．x0∈(100，＋∞)A [设f(x)＝lgx＋，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，易知函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又x→0时，f(x)＜0，f(1)＝lg1＋1＝1＞0，∴方程lgx＋＝0的根所在区间是(0,1)，故选A.]2．函数f(x)＝的零点个数为( )A．3B．2C．7D．0B [法一：(直接法)由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．法二：(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．]3．已知x0是f(x)＝x＋的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，则( )A．f(x1)＜0，f(x2)＜0B．f(x1)＞0，f(x2)＞0C．f(x1)＞0，f(x2)＜0D．f(x1)＜0，f(x2)＞0C [函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，且f(x0)＝0，则f(x1)＞0，f(x2)＜0，故选C.]4．已知函数f(x)＝x－(x＞0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx的零点分别为x1，x2，x3，则( )A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x2＜x3＜x1D．x3＜x1＜x2,C [作出y＝x与y1＝，y2＝－ex，y3＝－lnx的图象如图所示，可知选C.]5．已知函数f(x)＝则函数f(x)在(－6，＋∞)上的零点个数为( )A．1B．2C．3D．4C [由或解得x＝2或x＝4或x＝e－6.即函数f(x)在(－6，＋∞)上有3个零点，故选C.]6．已知λ∈R，函数f(x)＝若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是( )A．(1,3]B．(4，＋∞)C．(3,4]D．(1,3]∪(4，＋∞)D [f(x)＝恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图象如图所示，平移直线x＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)．故选D.]二、填空题7．设函数f(x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f(x)的零点个数是________．2 [令f(x)＝0得2|x|＝3－x2，在同一坐标系中，分别作出函数y＝2|x|和y＝3－x2的图象，如图所示：由图象知，函数f(x)有两个零点．]8．(2020·济南模拟)若函数f(x)＝lnx－＋a在区间(1，e)上存在零点，则常数a的取值范围是________． [∵函数f(x)在区间(1，e)上为增函数，∴解得－1＜a＜1.]9．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________． [作出函数f(x)的图象如图所示．,当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝2－≥－，若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则－＜m≤0，即实数m的取值范围是.]三、解答题10．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点．(1)求m的值；(2)求函数的零点．[解] (1)因为f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，所以m＝±2，当m＝－2时，t＝1；当m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)．所以2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．所以这种情况不符合题意．综上可知：当m＝－2时，f(x)有唯一零点．(2)由(1)可知，该函数的零点为0.11．设函数f(x)＝(x＞0)．(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．[解] (1)如图所示．(2)因为f(x)＝＝故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．,由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，且－1＝1－，所以＋＝2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0＜m＜1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有两个不同的交点，即方程f(x)＝m有两个不相等的正根．1．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx－的零点，则g(x0)等于( )A．1 B．2 C．3 D．4B [∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－＞0，故x0∈(2,3)，∴g(x0)＝[x0]＝2.故选B.]2．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则a的最小值是________，x4(x1＋x2)＋的最大值是________．1 4 [作出函数f(x)的图象如图所示．由图可知，要使方程f(x)＝a有四个不同的解，则需1≤a＜2，故a的最小值是1.由二次函数图象的对称性可知，x1＋x2＝－2，由对数函数的图象及性质可知，|log0.5x3|＝|log0.5x4|，即log0.5x3＝－log0.5x4，所以x3x4＝1，所以x4(x1＋x2)＋＝－2x4＋.又函数y＝－2x＋在[2,4)上单调递减，所以x4(x1＋x2)＋的最大值为－2×2＋＝4.]3．函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)＝对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)．若在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m恰好有三个不同的零点，求实数m的取值范围．[解] 因为对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)，所以函数f(x)的周期为4.由在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m有三个不同的零点，知函数f(x)与函数h(x)＝mx－m的图象在[－5,3],上有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与h(x)在区间[－5,3]上的图象，如图所示．由图可知≤m＜，即－≤m＜－.1．(多选)(2020·辽宁沈阳质监改编)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝则下列选项正确的是( )A．函数f(x)的最大值为1B．函数f(x)的最小值为0C．函数f(x)的零点有无数个D．函数g(x)＝8[f(x)]2－6f(x)＋1的零点个数为14ABC [∵x∈(0,2]时，f(x)＝(x－1)2，当x＞2时，f(x)＝f(x－2)，∴当x∈(0，＋∞)时，将f(x)在区间(0,2]上的图象依次向右平移2个单位长度的同时，再将图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，就可以得到函数f(x)在(0，＋∞)上的图象．又f(x)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称．作出y＝f(x)的图象如图所示．由图可知选项A，B，C正确．令g(x)＝0，得f(x)＝或f(x)＝，易知直线y＝与y＝f(x)的图象有6个交点，直线y＝与函数y＝f(x)的图象有10个交点，∴函数g(x)共有16个零点，选项D不正确．故选ABC.]2．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．[解] 由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，所以函数图象关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三个不同的根，则满足解得＜a＜，故a的取值范围是(，)．,
