课后限时集训(三十七) 等差数列及其前n项和建议用时：40分钟一、选择题1．《周髀算经》是中国古代的天文学和数学著作．其中一个问题的大意为一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(物体在太阳的照射下影子长度的减少量和增加量相同)．如图，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长为( )A．五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．一丈二尺五寸B [设晷长构成的等差数列{an}的公差为d(单位：寸)，则a1＝15，a13＝135，∴15＋12d＝135，解得d＝10.∴a2＝15＋10＝25，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长为二尺五寸．故选B.]2．在等差数列{an}中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，则数列{an}的前11项和等于( )A．66B．132C．－66D．－132D [因为a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，所以a3＋a9＝－24.又a3＋a9＝－24＝2a6，所以a6＝－12，S11＝＝＝－132，故选D.]3．数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5＝( )A．9B．10C．11D．12D [由2an＝an－1＋an＋1(n≥2)可知数列{an}为等差数列，∴a2＋a4＋a6＝a3＋a4＋a5＝12.故选D.]4．公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝3a4，且S10＝λa4，则λ的值为( )A．15B．21C．23D．25D [由题意得a1＋5d＝3(a1＋3d)，∴a1＝－2d.∴λ＝＝＝＝25，故选D.]5．等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为( )\nA．6B．7C．8D．9C [∵|a6|＝|a11|且公差d>0，∴a6＝－a11.∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，且a8<0，a9>0，∴a1<a2<…<a8<0<a9<a10<…，∴使Sn取最小值的n的值为8.故选C.]6．(多选)《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节(最下面一节)的高度为0.5尺；②第一圈(最下面一圈)的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)下列说法正确的是( )A．蚂蚁爬到第10节底部时的高度是5.58尺B．蚂蚁爬到第10节底部时的高度是6.35尺C．蚂蚁爬到竹子顶的行程是73.995尺D．蚂蚁爬到竹子顶的行程是61.395尺AD [设从地面往上，每节竹长依次为a1尺，a2尺，a3尺，…，a30尺，所以{an}是以a1＝0.5为首项，0.03为公差的等差数列，an＝0.5＋0.03(n－1)＝0.03n＋0.47，前n项和Sn＝0.5n＋0.015n(n－1)＝0.015n2＋0.485n，S9＝5.58，A正确，B错误．由题意知竹节圈长，上面一圈比下面一圈少0.013尺，设从地面往上，每节圈长依次为b1尺，b2尺，b3尺，…，b30尺，所以{bn}是以b1＝1.3为首项，－0.013为公差的等差数列，所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程为(0.015×302＋0.485×30)＋＝61.395(尺)，C错误，D正确．]二、填空题7．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则＝____________.4 [设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得2a1＝d，所以＝＝＝4.]8．(2020·新高考全国卷Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．\n3n2－2n [将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，故它的前n项和为Sn＝n×1＋×6＝3n2－2n.]9．(2020·湖南娄底月考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝4，S6＝78，则an＝________，的最大值为________．6n－8 [因为S6＝3(a2＋a5)＝78，所以a2＋a5＝26，又a2＝4，所以a5＝22.设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝6，所以a1＝－2，所以an＝6n－8，Sn＝＝(3n－5)n，所以＝＝－＋.令f(x)＝－＋(x>0)，则当x＝时，f(x)取得最大值．因为当n＝3时，＝，当n＝4时，＝，且>，所以max＝.]三、解答题10．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．[解] (1)设{an}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．11．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)已知数列{bn}满足bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.[解] (1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.\n由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，又b1＝2，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝.1．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则( )A．a8>0B．a9<0C.，，…，中最大的项为D.，，…，中最大的项为ABD [由S15＝＝15a8＞0，得a8>0，故A正确；由S16＝＝<0，得a9＋a8<0，所以a9<0，且d<0，故B正确；所以数列{an}为递减数列，且a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15大于0，S16，…，Sn小于0，则>0，>0，…，>0，<0，<0，…，<0，又S8>S1，a1>a8，所以>>0，所以，，…，中最大的项为，故C错误，D正确．]2．已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝(n∈N*)，则an＝________，数列{an}中最大项的值为________． [由题意知an≠0，由an＋1＝得＝＝＋8，整理得－＝8，即数列是公差为8的等差数列，故＝＋(n－1)×8＝8n－17，所以an＝.当n＝1,2时，an＜0；当n≥3时，an＞0，则数列{an}在n≥3时是递减数列，故{an\n}中最大项的值为a3＝.]3．已知一次函数f(x)＝x＋8－2n.(1)设函数y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{an}，求证：数列{an}是等差数列；(2)设函数y＝f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn.[解] (1)证明：由题意得an＝8－2n，因为an＋1－an＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2，且a1＝8－2＝6，所以数列{an}是首项为6，公差为－2的等差数列．(2)由题意得bn＝|8－2n|.由b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0，b5＝2，可知此数列前4项是首项为6，公差为－2的等差数列，从第5项起，是首项为2，公差为2的等差数列．所以当n≤4时，Sn＝6n＋×(－2)＝－n2＋7n，当n≥5时，Sn＝S4＋(n－4)×2＋×2＝n2－7n＋24.故Sn＝1．(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列选项正确的是( )A．an＝－B．an＝C．数列为等差数列D．＋＋…＋＝－5050BCD [因为Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，所以Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，易知SnSn＋1≠0，所以－＝－1(常数)，所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C正确．所以＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－(首项a1＝－1不满足该式)，故an＝故A错误，B正确．由\nSn＝－可得＋＋…＋＝－(1＋2＋…＋100)＝－5050，故D正确．故选BCD.]2．等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.[解] (1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知，bn＝.当n＝1,2,3时，1≤＜2，bn＝1；当n＝4,5时，2≤＜3，bn＝2；当n＝6,7,8时，3≤＜4，bn＝3；当n＝9,10时，4≤＜5，bn＝4.所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
