【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学5.2等差数列及其前n项和练习一、选择题1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )A．14 B．21C．28D．35解析：由等差数列的性质知，a3＋a4＋a5＝3a4＝12⇒a4＝4，所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.答案：C2．已知{an}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n项和Sn最小的n是( )A．4B．5C．6D．7解析：由S3＝S7得a4＋a5＋a6＋a7＝0，即a5＋a6＝0，∴9d＝－2a1＝18，d＝2.∴Sn＝－9n＋n(n－1)×2＝n2－10n.∴当n＝－＝5时，Sn最小．答案：B3．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为( )A．－110B．－90C．90D．110解析：因为a7是a3与a9的等比中项，所以a＝a3a9，又因为公差为－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，通项公式为an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n，所以S10＝＝5(20＋2)＝110，故选择D.答案：D4．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝( )A．0B．3C．8D．11解析：因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12，故公差d＝＝2.于是b1＝－6，且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8，所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝…＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.答案：B5．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2022，－＝2，则S2022的值为( )A．－2022B．2022C．－2022D．20224\n解析：＝＝a1＋(n－1)，∴{}为以a1为首项，以为公差的等差数列．∴－＝2×＝2.∴d＝2.∴S2022＝2022×(－2022)＋×2＝－2022.答案：C6．已知在等差数列{an}中，对任意n∈N*，都有an＞an＋1，且a2，a8是方程x2－12x＋m＝0的两根，且前15项的和S15＝m，则数列{an}的公差是( )A．－2或－3B．2或3C．－2D．－3解析：由2a5＝a2＋a8＝12，得a5＝6，由S15＝m得a8＝.又因为a8是方程x2－12x＋m＝0的根，解之得m＝0，或m＝－45，则a8＝0，或a8＝－3.由3d＝a8－a5得d＝－2，或d＝－3.答案：A二、填空题7．设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝__________.解析：设数列的公差为d，则3d＝a4－a1＝6，得d＝2，所以S5＝5×1＋×2＝25.答案：258．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a3＝16，S20＝20，则S10的值为__________．解析：设{an}的首项，公差分别是a1，d，则，解得a1＝20，d＝－2，∴S10＝10×20＋×(－2)＝110.答案：1109．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝__________.解析：根据已知条件，得a3＋a4＋a5＋a6＝0，而由等差数列性质得，a3＋a6＝a4＋a5，所以，a4＋a5＝0，又a4＝1，所以a5＝－1.答案：－1三、解答题10．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.4\n(2)由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝＝2n－n2.进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7为所求结果．11．设等差数列{an}的前n项和为Sn.(1)若a4＝－15，公差d＝3，求Sn的最小值；(2)若a2＝9，S4＝40，且数列{}成等差数列，求实数c的值．解析：(1)由已知，得a1＋3d＝－15，∵d＝3，∴a1＝－24，∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－27.令an≤0，得n≤9，且a9＝0，∴该数列前8项或前9项的和最小，最小值为8×(－24)＋×3＝－108.(2)由a2＝9，S4＝40得∴∴Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋6n，∴＝＝.当c＝9时，＝n＋3是等差数列．12．已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．(1)求证数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．解析：(1)证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝，所以当n≥2时，bn－bn－1＝－＝－＝－＝1.又b1＝＝－，所以数列{bn}是以－为首项，以1为公差的等差数列．(2)解：由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋.设函数f(x)＝1＋，易知f(x)在区间(－∞，)和(，＋∞)内均为减函数．所以当n＝3时，an取得最小值－1；4\n当n＝4时，an取得最大值3.4
