课后限时集训(三十八) 等差数列及其前n项和建议用时：40分钟一、选择题1．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于( )A．－2B．－C．D．2B [由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，则a1＝1.又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－.故选B．]2．在等差数列{an}中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，则数列{an}的前11项和等于( )A．66B．132C．－66D．－132D [因为a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，所以a3＋a9＝－24.又a3＋a9＝－24＝2a6，所以a6＝－12，S11＝＝＝－132，故选D．]3．数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5＝( )A．9B．10C．11D．12D [由2an＝an－1＋an＋1(n≥2)可知数列{an}为等差数列，∴a2＋a4＋a6＝a3＋a4＋a5＝12.故选D．]4．公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝3a4，且S10＝λa4，则λ的值为( )A．15B．21C．23D．25D [由题意得a1＋5d＝3(a1＋3d)，∴a1＝－2d.∴λ＝＝＝＝25，故选D．]5．等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为( )A．6B．7C．8D．9C [∵|a6|＝|a11|且公差d>0，∴a6＝－a11.∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，且a8<0，a9>0，∴a1<a2<…<a8<0<a9<a10<…，∴使Sn取最小值的n的值为8.故选C．]6．(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上，中，下三层，\n上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块C [由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n.设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝＝＝3402，故选C．]二、填空题7．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则＝.4 [设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得2a1＝d，所以＝＝＝4.]8．(2020·新高考全国卷Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为．3n2－2n [将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，故它的前n项和为Sn＝n×1＋×6＝3n2－2n.]9．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.其中一定正确的结论是．(填序号)①③ [a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d，所以a1＝－9d，\na10＝a1＋9d＝0，故①正确；由于d的符号未知，所以S10不一定最小，故②错误；S7＝7a1＋21d＝－42d，S12＝12a1＋66d＝－42d，所以S7＝S12，故③正确；S20＝20a1＋190d＝10d，不一定为0，故④错误．所以正确的是①③.]三、解答题10．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．[解] (1)设{an}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．11．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)已知数列{bn}满足bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.[解] (1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，\n故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，又b1＝2，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝.1．(2020·大连模拟)若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2019＋a2020＞0，a2019·a2020＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是( )A．2019B．2020C．4039D．4038D [{an}是等差数列，首项a1＞0，a2019＋a2020＞0，a2019·a2020＜0，所以{an}是递减的等差数列，且a2019＞0，a2020＜0，因为a2019＋a2020＝a1＋a4038＞0，a1＋a4039＝2a2020＜0，所以S4038＝＞0，S4039＝＜0.所以使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是4038.故选D．]2．已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝(n∈N*)，则an＝，数列{an}中最大项的值为． [由题意知an≠0，由an＋1＝得＝＝＋8，整理得－＝8，即数列是公差为8的等差数列，故＝＋(n－1)×8＝8n－17，所以an＝.当n＝1,2时，an＜0；当n≥3时，an＞0，则数列{an}在n≥3时是递减数列，故{an}中最大项的值为a3＝.]3．已知一次函数f(x)＝x＋8－2n.(1)设函数y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{an}，求证：数列{an}是等差数列；(2)设函数y＝f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn.[解] (1)证明：由题意得an＝8－2n，因为an＋1－an＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2，且a1＝8－2＝6，所以数列{an}是首项为6，公差为－2的等差数列．(2)由题意得bn＝|8－2n|.由b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0，b5＝2，\n可知此数列前4项是首项为6，公差为－2的等差数列，从第5项起，是首项为2，公差为2的等差数列．所以当n≤4时，Sn＝6n＋×(－2)＝－n2＋7n，当n≥5时，Sn＝S4＋(n－4)×2＋×2＝n2－7n＋24.故Sn＝1．(2020·青岛模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋an＋1＝2n＋1(n∈N*)，则a20＝，S21＝.20 231 [∵an＋an＋1＝2n＋1，①∴an＋1＋an＋2＝2n＋3，②②－①得an＋2－an＝2.∴数列{an}的奇数项和偶数项均成公差为2的等差数列．又a1＝1，且a1＋a2＝3，∴a2＝2，∴a21＝1＋10×2＝21，a20＝2＋9×2＝20，∴S21＝(a1＋a3＋…＋a21)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝＋＝231.]2．等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.[解] (1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知，bn＝.当n＝1,2,3时，1≤＜2，bn＝1；当n＝4,5时，2≤＜3，bn＝2；当n＝6,7,8时，3≤＜4，bn＝3；\n当n＝9,10时，4≤＜5，bn＝4.所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
