第02节等差数列及其前n项和一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【2022届浙江台州中学高三10月月考】一个等差数列的项数为，若，，且，则该数列的公差是（）A.3B.-3C.-2D.-1【答案】B.2．【2022届辽宁省沈阳市东北育才学校高三模考】等差数列中，，则（）A.10B.20C.40D.【答案】B【解析】因为，所以选B.3．数列为等差数列，满足，则数列前21项的和等于（）A．B．21C．42D．84【答案】B【解析】根据等差数列的求和公式，可知，即，所以数列前21项的和为，故答案为B．4．【云南省玉溪第一中学2022届高三上学期第一次月考】数列是首项，对于任意，有，则前5项和（）A.121B.25C.31D.35【答案】D10\n【解析】令,有,等差，首项为1，公差为3，,.5．【改编题】已知是等差数列的前项和，则（）A.30B.3C.300D.【答案】D6．【改编题】已知是公差不为零的等差数列的前项和，且，（），则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】依题意，可知，即，由得，将代入化简得，解得或（舍去），选B.7．【2022年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】已知等差数列中，，则的前项和的最大值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，所以通项公式，当，解得即，即前项和最大，，故选C.8．【2022届广东省珠海市高三摸底考试】对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：.仿此，若的“分裂数”中有一个是2022，则m的值为()10\nA.44B.45C.46D.47【答案】C9．某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元.设该设备使用了年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设该设备第的营运费用为万元，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，则该设备到第年的营运费用总和为，设第的盈利总额为万元，则，因此，当时，取最大值，故选B.10．【原创题】已知等差数列中，,则的值是（）A．15B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，，故，又，故，则，，故．11．【原创题】已知等差数列的展开式中项的系数是数列中的（）A．第9项B．第10项C．第19项D．第20项10\n【答案】D．12.【2022届四川省成都市第七中学高三6月1日热身】已知等差数列中，，满足，则等于（）A.和B.和C.和D.和【答案】B【解析】由题意得公差,即,代入验证得当时成立,选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.【2022江苏8】已知是等差数列，是其前项和．若，，则的值是．【答案】20【解析】设公差为，则由题意可得，解得，则．14.【2022届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】等差数列满足，函数，，则数列的前项和为________【答案】10\n15．【2022届江苏省南京市高三上期初调研】记等差数列{an}前n项和为Sn．若am＝10，S2m－1＝110，则m的值为__________．【答案】6【解析】是等差数列，，可得16．【2022届四川省广元市高三第三次统考】若数列是正项数列，且，则等于____________.A.B.C.D.【答案】【解析】当时，，当时，②，题设为①，①-②得到，即，那么，所以.二、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【2022届辽宁省鞍山市第一中学高三上第一次模拟】已知为等差数列，.（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值.【答案】(1)；（2）.【解析】试题分析：（1）设出等差数列的公差，由已知列式求得公差，得到等差数列的通项公式；（2）直接由a1，ak，Sk+2成等比数列列式求得k值．试题解析：(1)解得：，所以.（2），，（舍去），.18.【2022届江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中高三上第一次月考】已知等差数列的前项和为，且.10\n（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，且，求的前项和.【答案】(1)(2)试题解析：（1）设等差数列的首项为,公差为，，所以，解得。（2）所以，19．【2022届内蒙古赤峰二中高三上学期第二次月考】已知等差数列的前项和为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的公差不为0，数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.10\n（2）由数列的公差不为0，可得，则由错位相减法可求数列的前项和.试题解析：（1）由题得，，设等差数列的公差为，则，化简，得或.当时，，得，∴，即；当时，由，得，即；（2）由题意可知，，∴，①，②①-②，得，∴.20．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2022届高三10月月考】已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.10\n试题解析：（1）设数列的公差为，令得，所以.令得，所以.解得，所以（2）由（1）知所以所以两式相减，得所以21．【2022届黑龙江省齐齐哈尔八中高三第二次月考】(1)在等差数列中，已知，前项和为，且，求当取何值时，取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列的通项公式是，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知得，从而，进而求出，根据二次函数的性质可得当或时，取得最大值；（2）由已知得是首项为，公差为的等差数列，从而数列的前项和，由，得，从而时，时，，由此能求出数列的前项和.10\n∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋＝130.(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．令,由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6.即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|＝a7＝4×7－25＝3.设{|an|}的前n项和为Tn，则22．【2022届福建省高三4月单科质量检测】某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入的资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等.（1）求第年的预计投入资金与出售产品的收入；（2）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）【答案】（1），；（2）第8年.【解析】试题解析：10\n所以，，令，得，解得，所以，，.（2）由（1）可知当时，总利润，所以，，因为为增函数，，所以，当时，；当时，，又因为，所以，当时，，即前6年未盈利，当时，，令，得.综上，预计该公司从第8年起开始盈利.10
