课后限时集训(三十九) 等比数列及其前n项和建议用时：40分钟一、选择题1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )A．－24 B．0 C．12 D．24A [由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24，选A．]2．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是( )A．1B．－C．1或－D．－1或C [当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝－.综上，q的值是1或－，故选C．]3．等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为( )A．B．－C．D．－B [当n＝1时，a1＝S1＝3＋r，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1＝·9n－1，所以3＋r＝，即r＝－，故选B．]4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为( )A．6里B．12里C．24里D．48里B [记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比为的等比数列，由S6＝378，得S6\n＝＝378，解得a1＝192，∴a5＝192×＝12(里)．故选B．]5．(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝( )A．2B．3C．4D．5C [令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an，即＝a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝ak(a1＋a2＋…＋a10)＝2k×＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4，故选C．]6．(2020·宝山区一模)已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，则下列结论正确的是( )A．若a1＋a2＞0，则a1＋a3＞0B．若a1＋a3＞0，则a1＋a2＞0C．若a1＞0，则S2021＞0D．若a1＞0，则S2020＞0C [A错误，如数列：－1,2，－4，….BD错误，如数列1，－2,4，….C正确，当q＜0时，显然S2021＞0；当0＜q＜1时，及q＞1时“1－q”与“1－q2021”同号，故S2021＞0；当q＝1时，显然S2021＞0，故C正确．]二、填空题7．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值． [由题意得a1＋a2＝5，b＝4，又b2与第一项的符号相同，所以b2＝2.所以＝.]8．在14与之间插入n个数组成等比数列，若各项之和为，则此数列的项数为．5 [设此等比数列为{am}，公比为q，则该数列共有n＋2项．∵14≠，∴q≠1.由等比数列的前n项和公式，得＝，解得q＝－，∴an＋2＝14×＝，即＝，解得n＝3，∴该数列共有5项．]\n9．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝.30 [由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.]三、解答题10．(2020·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.[解] (1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.由已知得解得a1＝1，q＝3.所以{an}的通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)知log3an＝n－1.故Sn＝.由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)，即m2－5m－6＝0.解得m＝－1(舍去)，m＝6.11．设数列{an}中，a1＝1，a2＝，an＋2＝an＋1－an，令bn＝an＋1－an(n∈N*)(1)证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解] (1)证明：∵an＋2＝an＋1－an，∴an＋2－an＋1＝(an＋1－an)，而bn＝an＋1－an，∴bn＋1＝bn，又b1＝a2－a1＝，∴{bn}是首项为，公比为的等比数列．(2)由(1)知bn＝×＝，∴an－an－1＝，\n∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋＋＋…＋＝＝3－3·.1．已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为( )A．3n＋1B．3n－1C．D．C [∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，∴a1(b2－b1)＝a2，即a2＝3a1，又数列{an}为等比数列，∴数列{an}的公比为q＝3，∴bn＋1－bn＝＝3，∴数列{bn}是首项为2，公差为3的等差数列，∴数列{bn}的前n项和为Sn＝2n＋×3＝.故选C．]2.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为． [由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为×＝.]3．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.\n[解] (1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.当n＝1时，a1＝1不适合上式．∴an＝(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.1．(2020·宣城二模)将正整数排成如图所示：试问2020是表中第行的第个数．11 997 [由题意得第n行有2n－1个数，20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＝＝1023，20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210＝＝2047，∴2020是表中第11行的第997个数．]2．[结构不良试题]设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知满足，求公比q以及a＋a＋…＋a.从①a2a5＝－32且a3＋a4＝－4，②a1＝1且S6＝9S3，③S2＝a3－1且S3＝a4－1这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答．[解] 若选①，则有a2a5＝a3a4＝－32，故有a3a4＝－32，a3＋a4＝－4，解得a3＝4，a4＝－8，或a3＝－8，a4＝4，即q＝－2或q＝－.因为{a}是以a为首项，q2为公比的等比数列，若q＝－2，a1＝1，此时a＋a＋…＋a＝；\n或q＝－，a1＝－32，此时a＋a＋…＋a＝.若选②，＝8，即q3＝8，故q＝2.因为{a}是以a为首项，q2为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝.若选③，S2＝a3－1(*)，S3＝a4－1(**)．令(**)式减(*)式，得a3＝a4－a3，即a4＝2a3，故q＝2.则(*)式中，a1＋a2＝a3－1，即a1＋2a1＝4a1－1，即a1＝1.因为{a}是以a为首项，q2为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝.
