课后限时集训(三十八)等比数列及其前n项和建议用时：40分钟一、选择题1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )A．－24 B．0 C．12 D．24A [由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24，选A.]2．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是( )A．1B．－C．1或－D．－1或C [当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝－.综上，q的值是1或－，故选C.]3．(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列说法正确的是( )A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列D．数列是公比为的等比数列AD [对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列．故选AD.]4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为( )\nA．6里B．12里C．24里D．48里B [记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比为的等比数列，由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，∴a5＝192×＝12(里)．故选B.]5．(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝( )A．2B．3C．4D．5C [令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an，即＝a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝ak(a1＋a2＋…＋a10)＝2k×＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4，故选C.]6．(2020·宝山区一模)已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，则下列结论正确的是( )A．若a1＋a2＞0，则a1＋a3＞0B．若a1＋a3＞0，则a1＋a2＞0C．若a1＞0，则S2021＞0D．若a1＞0，则S2020＞0C [A错误，如数列：－1,2，－4，….BD错误，如数列1，－2,4，….C正确，当q＜0时，显然S2021＞0；当0＜q＜1时，及q＞1时“1－q”与“1－q2021”同号，故S2021＞0；当q＝1时，显然S2021＞0，故C正确．]二、填空题7．(2020·浙江嘉兴模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且an>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，则公比q＝________，S5＋a5＝________.3 202 [由题意得2a1＝2，∴a1＝1.由a1＋a1q＋2a1q2＝22，得q＝3或－，∵an>0，∴q＝－不合题意，故q＝3，∴S5＋a5＝＋1×34＝202.]8．在14与之间插入n个数组成等比数列，若各项之和为，则此数列的项数为________．\n5 [设此等比数列为{am}，公比为q，则该数列共有n＋2项．∵14≠，∴q≠1.由等比数列的前n项和公式，得＝，解得q＝－，∴an＋2＝14×n＋2－1＝，即n＋1＝，解得n＝3，∴该数列共有5项．]9．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝________.30 [由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.]三、解答题10．(2020·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.[解] (1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.由已知得解得a1＝1，q＝3.所以{an}的通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)知log3an＝n－1.故Sn＝.由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)，即m2－5m－6＝0.解得m＝－1(舍去)，m＝6.11．设数列{an}中，a1＝1，a2＝，an＋2＝an＋1－an，令bn＝an＋1－an(n∈N*)(1)证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解] (1)证明：∵an＋2＝an＋1－an，∴an＋2－an＋1＝(an＋1－an)，而bn＝an＋1－an，\n∴bn＋1＝bn，又b1＝a2－a1＝，∴{bn}是首项为，公比为的等比数列．(2)由(1)知bn＝×n－1＝n，∴an－an－1＝n－1，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋＋2＋…＋n－1＝＝3－3·n.1．(多选)(2020·山东枣庄期中)将n2个数排成一个如下所示的n行n列的数阵：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0)．已知a11＝2，a13＝a61＋1，记这n2个数的和为S，则下列结论正确的有( )A．m＝3B．a67＝17×37C．aij＝(3i－1)×3j－1D．S＝n(3n＋1)(3n－1)ACD [由该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，且a11＝2，a13＝a61＋1，可得a13＝a11m2＝2m2，a61＝a11＋5m＝2＋5m，所以2m2＝2＋5m＋1，解得m＝3或m＝－(舍去)，所以选项A正确；a67＝a61m6＝(2＋5×3)×36＝17×36，所以选项B不正确；aij＝ai1mj－1＝[a11＋(i－1)×m]×mj－1＝[2＋(i－1)×3]×3j－1＝(3i－1)×3j－1，所以选项C正确；S＝(a11＋a12＋…＋a1n)＋(a21＋a22＋…＋a2n)＋…＋(an1＋an2＋…＋ann)＝＋＋…＋＝(3n－1)·\n＝n(3n＋1)(3n－1)，所以选项D正确．故选ACD.]2.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________． [由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为×9＝.]3．[结构不良试题]在①b4＝a3＋a5；②b4＋b6＝3a3＋3a5；③a2＋a3＝b4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是公比大于0的等比数列，b1＝1，b3＝b2＋2，b5＝a4＋2a6，且________，设cn＝，是否存在实数k，使得对任意的n∈N*，都有ck≤cn?[解] 设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q(q>0)，因为{bn}是公比大于0的等比数列，且b1＝1，b3＝b2＋2，所以q2＝q＋2，解得q＝2(q＝－1不合题意，舍去)．所以bn＝2n－1.若存在k，使得对任意的n∈N*，都有ck≤cn，则cn存在最小值．若选①，则由b5＝a4＋2a6，b4＝a3＋a5可得解得d＝1，a1＝1，所以Sn＝n2＋n，cn＝＝＝.因为n∈N*，所以n2＋n≥2，所以cn不存在最小值，即不存在满足题意的k.若选②，由b5＝a4＋2a6，b4＋b6＝3a3＋3a5可得解得d＝－1，a1＝，所以Sn＝－n2＋n，cn＝＝.因为当n≤20时，cn>0，当n≥21时，cn<0，所以易知cn的最小值为c21＝－.即存在k＝21，使得对任意的n∈N*，都有ck≤cn.\n若选③，则由b5＝a4＋2a6，a2＋a3＝b4可得解得d＝，a1＝，所以Sn＝，cn＝＝.因为2n2＋26n≥28，所以cn不存在最小值，即不存在满足题意的k.1．(2020·宣城二模)将正整数排成如图所示：试问2020是表中第________行的第________个数．11 997 [由题意得第n行有2n－1个数，20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＝＝1023，20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210＝＝2047，∴2020是表中第11行的第997个数．]2．[结构不良试题]设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知满足________，求公比q以及a＋a＋…＋a.从①a2a5＝－32且a3＋a4＝－4，②a1＝1且S6＝9S3，③S2＝a3－1且S3＝a4－1这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答．[解] 若选①，则有a2a5＝a3a4＝－32，故有a3a4＝－32，a3＋a4＝－4，解得a3＝4，a4＝－8，或a3＝－8，a4＝4，即q＝－2或q＝－.因为{a}是以a为首项，q2为公比的等比数列，若q＝－2，a1＝1，此时a＋a＋…＋a＝；或q＝－，a1＝－32，此时a＋a＋…＋a＝.若选②，＝8，即q3＝8，故q＝2.\n因为{a}是以a为首项，q2为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝.若选③，S2＝a3－1(*)，S3＝a4－1(**)．令(**)式减(*)式，得a3＝a4－a3，即a4＝2a3，故q＝2.则(*)式中，a1＋a2＝a3－1，即a1＋2a1＝4a1－1，即a1＝1.因为{a}是以a为首项，q2为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝.
