课时作业41 合情推理与演绎推理一、选择题1．下列推理过程是类比推理的为( )A．人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C．通过检验溶液的pH值得出溶液的酸碱性D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数解析：由类比推理的概念可知．答案：B2．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B.∴a<b，其中，画线部分是演绎推理的( )A．大前提B．小前提C．结论D．三段论解析：由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提．答案：B3．已知数列{an}的前n项和为Sn，则a1＝1，Sn＝n2an，试归纳猜想出Sn的表达式为( )A．Sn＝B．Sn＝C．Sn＝D．Sn＝解析：Sn＝n2an＝n2(Sn－Sn－1)，∴Sn＝Sn－1，S1＝a1＝1，则S2＝，S3＝＝，S4＝.∴猜想得Sn＝，故选A.答案：A4．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝( )A.B.7\nC.D.解析：设三棱锥的内切球球心为O，那么由V＝VO－ABC＋VO－SAB＋VO－SAC＋VO－SBC，即：V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，可得：r＝.答案：C5．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为( )A．S2＝S＋S＋SB．S2＝＋＋C．S＝S1＋S2＋S3D．S＝＋＋解析：如图，作OD⊥BC于D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝(BC·AD)2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝(OB·OA)2＋(OC·OA)2＋(BC·OD)2＝S＋S＋S.答案：A6．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为( )12 43 5 77\n6 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24A．105B．106C．107D．108解析：由题可知奇数行为奇数列，偶数行为偶数列.2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数为961，前32个奇数行内数的个数为1024，故2009在第32个奇数行内，则i＝63，因为第63行第1个数为2×962－1＝1923，2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，∴i＋j＝107.答案：C二、填空题7．观察下列不等式1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……照此规律，第五个不等式为________．解析：由前几个不等式可知1＋＋＋＋…＋<.所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.答案：1＋＋＋＋＋<8．在平面几何中：△ABC的内角∠C平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图)DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于E，则得到类比的结论是________．7\n解析：由平面中线段的比转化为空间中的面积的比可得＝.答案：＝9．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算f(22)>2，f(23)>，f(24)>3，f(25)>，推测当n≥2时，有________．解析：因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.答案：f(2n)>三、解答题10．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V＝×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.11．给出下面的数表序列：7\n其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解：表4为1 3 5 74 8 1212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．1．如下图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝( )A. B. C. D.解析：由图案可得第n个图案中的点数为3n，则an＝3n－3，∴＝＝－，∴＋＋＋…＋＝＋＋…＋7\n＝1－＝，故选B.答案：B2．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A．2907B．2111C．2012D．2090解析：依题意，设位于三角形内的最小数是n，其中n被8除后的余数必是3,4,5,6之一，则这九个数的和等于n＋3(n＋8)＋5(n＋16)＝9n＋104.令9n＋104＝2012，得n＝212，且n＝212被8除后的余数是4.答案：C3．观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．解析：由给出的数据归纳可得出F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝24．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：7\nsin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝.(2)归纳三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)＝1－cos2α－＋cos2α＝.7
