【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第6章第4节合情推理与演绎推理课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．(2014·泰州调研)已知在等差数列{an}中，若m＋2n＋p＝s＋2t＋r，m，n，p，s，t，r∈N*，则am＋2an＋ap＝as＋2at＋ar，仿此类比，可得到等比数列{bn}中的一个正确命题：若m＋2n＋p＝s＋2t＋r，m，n，p，s，t，r∈N*，则________．[解析] 等差数列中的加法运算转化为等比数列中的乘法运算，倍数转化为乘方，注意结构对应．[答案] bmbbp＝bsbbr.2．(2012·江西高考改编)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________.[解析] 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.[答案] 1233．(2014·镇江模拟)观察下列等式：×＝1－，×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝________.[解析] 观察1后面的分式的分母结构，为(n＋1)2n，结果为1－.[答案] 1－4．如图643所示是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是________(填序号)．图6435\n[解析] 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是①.[答案] ①5．(2014·扬州中学开学检测)求“方程x＋x＝1的解”有如下解题思路：设f(x)＝x＋x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2.类比上述解题思路，方程x6＋x2＝(x＋2)3＋x＋2的解集为________．[解析] 设函数f(t)＝t3＋t，则f(t)在R上单调递增，若x2≠x＋2，则f(x2)≠f(x＋2)，原方程不成立，∴必有x2＝x＋2，解得x＝－1或x＝2.[答案] {－1,2}6．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．[解析] 由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为，即可得一般的结论为f(2n)≥.[答案] f(2n)≥7．(2014·淮安模拟)若数列{an}是各项均为正数的等比数列，则当bn＝时，数列{bn}也是等比数列；类比上述性质，若数列{cn}是等差数列，则当dn＝________时，数列{dn}也是等差数列．[解析] 由条件类比可知，几何平均数→算术平均数dn＝.[答案] 8．给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y＝x与双曲线y＝的一个交点；命题2：点(2,4)是直线y＝2x与双曲线y＝的一个交点；5\n命题3：点(3,9)是直线y＝3x与双曲线y＝的一个交点；……请观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)为：________.[解析] 根据命题1,2,3的规律知，命题n为点(n，n2)是直线y＝nx与双曲线y＝的一个交点．[答案] 点(n，n2)是直线y＝nx与双曲线y＝的一个交点二、解答题9．已知函数f(x)＝，(1)分别求f(2)＋f，f(3)＋f，f(4)＋f的值；(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明．[解] (1)∵f(x)＝，∴f(2)＋f＝＋＝＋＝1，同理可得f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1.(2)由(1)猜想f(x)＋f＝1，证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝1.10．老师布置了一道作业题，已知圆C的方程是x2＋y2＝r2，求证过⊙C上点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2，聪明的小明又对该题进行猜想，有如下结论：若⊙C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则过⊙C上点M(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.你认为猜想正确吗？若正确，给出证明；若不正确，请说明理由．[解] 正确．证明如下：设P(x，y)为切线上任一点，则＝(x0－x，y0－y)，＝(x0－a，y0－b)．5\n又⊥，∴·＝0，即(x0－x)(x0－a)＋(y0－y)(y0－b)＝0.①又(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，化简①得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2为所求切线．[B级 能力提升练]一、填空题1．(2014·连云港调研)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为________．[解析] ∵72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,77＝823543，…∴7n(n∈Z，且n≥2)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，又∵2011＝502×4＋3，∴72011与73的末两位相同，末两位数字为43.[答案] 432．已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m、n∈N*)，则am＋n＝；现已知等比数列{bn}(b≠0，n∈N*)，bm＝a，bn＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝________.[解析] 等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bn－am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的，故bm＋n＝.[答案] 二、解答题3．(2014·苏州模拟)定义映射f：A→B，其中A＝{(m，n)|m，n∈R}，B＝R，已知对所有的有序正整数对(m，n)满足下述条件：①f(m,1)＝1，②若n>m，f(m，n)＝0；③f(m＋1，n)＝n[f(m，n)＋f(m，n－1)]，求f(n,2)．[解] 根据定义得f(2,2)＝f(1＋1,2)＝2[f(1,2)＋f(1,1)]＝2f(1,1)＝2×1＝22－2.f(3,2)＝f(2＋1,2)＝2[f(2,2)＋f(2,1)]＝2×(2＋1)＝6＝23－2f(4,2)＝f(3＋1,2)＝2[f(3,2)＋f(3,1)]＝2×(6＋1)＝14＝24－25\nf(5,2)＝f(4＋1,2)＝2[f(4,2)＋f(4,1)]＝2×(14＋1)＝30＝25－2，所以根据归纳推理可知f(n,2)＝2n－2.5
