第九章 解析几何第九节 直线与圆锥曲线的综合问题第三课时 定点、定值、探索性问题A级·基础过关|固根基|1.(2020届大同调研)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝.(1)设E是直线y＝x＋2与椭圆的一个交点，求|EF1|＋|EF2|取最小值时椭圆的方程；(2)已知N(0，1)，是否存在斜率为k的直线l与(1)中的椭圆交于不同的两点A，B，使得点N在线段AB的垂直平分线上？若存在，求出直线l在y轴上截距的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)∵e＝＝＝＝，∴＝，∴椭圆的方程可化为＋＝1，将＋＝1与y＝x＋2联立，消去y化简得4x2＋12x＋12－3b2＝0，由Δ＝144－16×(12－3b2)≥0，解得b2≥1，即b≥1，∴|EF1|＋|EF2|＝2a＝2b≥2，当且仅当b＝1时，|EF1|＋|EF2|取得最小值2，∴椭圆的方程为＋y2＝1.(2)存在直线l.设直线l在y轴上的截距为t，则直线l的方程为y＝kx＋t，代入＋y2＝1，消去y整理得，(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－3＝0，∵直线l与椭圆交于不同的两点，∴Δ1＝(6kt)2－12(t2－1)(1＋3k2)＞0，即t2＜1＋3k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为Q，则x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝，∴AB的中点Q的坐标为，，∴当k≠0时，kQN＝＝－，化简得1＋3k2＝－2t，代入t2＜1＋3k2得，－2＜t＜0.又－2t＝1＋3k2＞1，∴t＜－，故－2＜t＜－.当k＝0时，－1＜t＜1.综上，存在直线l，当k≠0时，直线l在y轴上截距的范围为－2，－；当k＝0时，直线l在y轴上截距的范围为(－1，1)．\n2．(2019届太原市一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F2(1，0)，点B在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝k(x－4)(k≠0)与椭圆C由左至右依次交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出定直线的方程．解：(1)由F2(1，0)，知c＝1，由题意得所以a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：因为y＝k(x－4)，所以直线l过定点(4，0)，由椭圆的对称性知点G在直线x＝x0上．当直线l过椭圆C的上顶点时，M(0，)，所以直线l的斜率k＝－，由得或所以N，由(1)知A1(－2，0)，A2(2，0)，所以直线lA1M的方程为y＝(x＋2)，直线lA2N的方程为y＝－(x－2)，所以G，所以点G在直线x＝1上；当直线l不过椭圆C的上顶点时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，所以Δ＝(－32k2)2－4×(3＋4k2)·(64k2－12)>0，则x1＋x2＝，x1x2＝，易得直线lA1M的方程为y＝(x＋2)，直线lA2N的方程为y＝(x－2)，当x＝1时，由＝得2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝0，所以－＋＝0显然成立，所以点G在直线x＝1上．\n综上，点G在定直线上，定直线方程为x＝1.B级·素养提升|练能力|3.(2019年北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．解：(1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.(2)证明：抛物线C的焦点为F(0，－1)．设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．由得，x2＋4kx－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.直线OM的方程为y＝x.令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－.同理得点B的横坐标xB＝－.设点D(0，n)，则＝，＝，·＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3)．4．如图，分别过椭圆E：＋＝1(a>b>0)左、右焦点F1，F2的动直线l1，l2相交于P\n点，与椭圆E分别交于A，B与C，D不同四点，直线OA，OB，OC，OD的斜率k1，k2，k3，k4满足k1＋k2＝k3＋k4.已知当l1与x轴重合时，|AB|＝2，|CD|＝.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在定点M，N，使得|PM|＋|PN|为定值？若存在，求出M，N点坐标并求出此定值；若不存在，请说明理由．解：(1)当l1与x轴重合时，k1＋k2＝k3＋k4＝0，即k3＝－k4，∴l2垂直于x轴，得|AB|＝2a＝2，|CD|＝＝，解得a＝，b＝，∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)存在定点M，N使得|PM|＋|PN|为定值．理由：由(1)得，焦点F1，F2坐标分别为(－1，0)，(1，0)，当直线l1或l2的斜率不存在时，P点坐标为(－1，0)或(1，0)，当直线l1，l2的斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，(2＋3m)x2＋6mx＋3m－6＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，∴k1＋k2＝＋＝m1＝m1＝－.同理，k3＋k4＝－.∵k1＋k2＝k3＋k4，∴＝，即(m1m2＋2)(m2－m1)＝0，由题意知，m1≠m2，∴m1m2＋2＝0.设P为(x，y)，则·＋2＝0，即＋x2＝1(x≠±1)，又当直线l1或l2的斜率不存在时，P点坐标为(－1，0)或(1，0)也满足此方程，∴点P(x，y)在椭圆＋x2＝1上，存在点M(0，－1)和点N(0，1)，使得|PM|＋|PN\n|为定值，定值为2.
