第九章 解析几何第二节 两直线的位置关系A级·基础过关|固根基|1.“a＝2”是“直线y＝－ax＋2与y＝x－1垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 若直线y＝－ax＋2与y＝x－1垂直，则有(－a)×＝－1，即a2＝4，所以a＝±2，所以“a＝2”是“直线y＝－ax＋2与y＝x－1垂直”的充分不必要条件．故选A．2．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( )A．(1，2)B．(2，1)C．(1，2)或(2，－1)D．(2，1)或(－1，2)解析：选C 设点P为(x，5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1，2)或(2，－1)，故选C．3．(2019届广州调研测试)“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0和3x＋(a－1)y＝a－7平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 两直线平行的充要条件是＝≠.由＝，得a2－a＝6，解得a＝3或a＝－2.当a＝－2时，＝＝，两直线重合，不符合题意，舍去，所以a＝3，故“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0和3x＋(a－1)y＝a－7平行”的充要条件，故选C．4．(2019届江西南昌检测)直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是( )A．3x＋4y＋5＝0B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0D．－3x＋4y＋5＝0解析：选A 在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知的直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0，故选A．5．(2019届河北模拟)若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k\n－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是( )A．－6<k<－2B．－5<k<－3C．k<－6D．k>－2解析：选A 解方程组得因为直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，所以所以－6<k<－2.故选A．6．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点是(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )A．4B．C．D．解析：选D 根据中点坐标公式得解得所以点P的坐标为(4，1)，所以点P(x，y)到原点的距离d＝＝，故选D．7．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点( )A．(0，4)B．(0，2)C．(－2，4)D．(4，－2)解析：选B 由题知，直线l1过定点(4，0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2，1)对称的点为(4，0)，故可知直线l2所过定点为(0，2)，故选B．8．(2019届南昌二中月考)设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是( )A．∪B．C．D．∪解析：选B 易知直线ax＋y＋2＝0过定点P(0，－2)，∴kPA＝－，kPB＝.设直线ax＋y＋2＝0的斜率为k，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，根据图象(图略)可知－<k<，即－<－a<，解得－<a<，故选B．9．过直线l1：x－3y＋4＝0和直线l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )A．19x－9y＝0B．9x＋19y＝0\nC．19x－3y＝0D．3x＋19y＝0解析：选D 易知(0，0)不在直线2x＋y＋5＝0上，可设过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，将(0，0)代入，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.10．(2019届绵阳诊断)已知直线l1：x＋(1＋k)y＝2－k与l2：kx＋2y＋8＝0平行，则k的值是________．解析：依题意得＝≠，解得k＝1或k＝－2(舍去)．答案：111．(2019届武汉调研)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．解：(1)易知点A到直线x－2y＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0.由题意得＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或，∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.(2)由解得交点为P(2，1)．如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．∴dmax＝|PA|＝＝.12．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.证明：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，∴解得故直线经过的定点为M(2，－2)．(2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段长度小于斜线段长度知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4，∴|PQ|<4，故所证成立.B级·素养提升\n|练能力|13.(2019届陕西省高三第二次质量检测)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )A．x＋2y＋3＝0B．2x＋y＋3＝0C．x－2y＋3＝0D．2x－y＋3＝0解析：选C 因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线．又A(2，0)，B(0，4)，故AB的中点为(1，2)，kAB＝－2，故AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，故选C．14．(2019届成都诊断)已知直线l1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为( )A．(3，)B．(2，)C．(1，)D．解析：选C 因为直线l1过点(－2，0)且斜率为k1＝tan30°＝，所以直线l1的方程为y＝(x＋2)．因为直线l2与直线l1垂直，所以k2＝－＝－，又过点(2，0)，所以直线l2的方程为y＝－(x－2)．联立得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，)．15．(2019届安阳一模)两条平行线l1，l2分别过点P(－1，2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是( )A．(5，＋∞)B．(0，5]C．(，＋∞)D．(0，]解析：选D 当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为＝，∴l1，l2之间距离的取值范围是(0，]．16．(2019届湖南岳阳二模)已知动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，则＋的最小值为( )A．B．C．1D．9\n解析：选B ∵动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，∴a＋bm＋c－2＝0.又Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，∴＝3，解得m＝0，∴a＋c＝2.又a>0，c>0，∴＋＝(a＋c)·＝≥＝，当且仅当c＝2a＝时等号成立．故选B．
