专题检测（十八）圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题大题专攻强化练1．(2019·开封模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，△MF1F2为等腰直角三角形，且其面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点．解：(1)由题意得a2＝1，∴a＝，又b＝c，a2＝b2＋c2，∴b＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：由(1)得M(0，1)．当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，由k1＋k2＝2得＋＝2，得x0＝－1.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，则Δ＝8(2k2－m2＋1)>0，x1＋x2＝，x1·x2＝.由k1＋k2＝2，得＋＝2，即＝2，(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)，(2－2k)·(2m2－2)＝(m－1)(－4km)，由m≠1，得(1－k)(m＋1)＝－km，∴m＝k－1，即y＝kx＋m＝kx＋k－1＝k(x＋1)－1，故直线AB过定点(－1，－1)，经检验，当k>0或k<－2时，直线AB与椭圆C有两个交点，满足题意．综上所述，直线AB过定点(－1，－1)．2．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是C上的一个动点，且△F1PF2面积的最大值为4.(1)求C的方程；\n(2)设C的左、右顶点分别为A，B，若直线PA，PB分别交直线x＝2于M，N两点，过点F1作以MN为直径的圆的切线，证明：切线长为定值，并求该定值．解：(1)设P(x0，y0)，椭圆的半焦距为c.因为S△F1PF2＝|F1F2|·|y0|≤·2c·b＝bc，所以bc＝4.又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a＝4，b＝2，c＝2，所以C的方程为＋＝1.(2)证明：由(1)可知A(－4，0)，B(4，0)，F1(－2，0)．由题可知：x0≠2，且x0≠±4.设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则直线PA的方程为y＝k1(x＋4)，令x＝2得y＝6k1，故M(2，6k1)．直线PB的方程为y＝k2(x－4)，令x＝2得y＝－2k2，故N(2，－2k2)．记以MN为直径的圆为圆D，则D(2，3k1－k2)．如图，过点F1作圆D的一条切线，切点为T，连接F1D，DT，则|F1T|2＝|F1D|2－|DT|2，所以|F1T|2＝16＋(3k1－k2)2－(3k1＋k2)2＝16－12k1k2，又k1＝，k2＝，所以k1·k2＝·＝，由＋＝1，得y＝－(x－16)，所以k1·k2＝－，则|F1T|2＝16－12k1k2＝16－12×＝25，所以|F1T|＝5.故切线长为定值5.3．(2019·福州市质量检测)已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)和圆C2：(x＋1)2＋y2＝2，\n倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切．(1)求p的值；(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设＝＋，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．解：(1)依题意，设直线l1的方程为y＝x＋，因为直线l1与圆C2相切，所以圆心C2(－1，0)到直线l1：y＝x＋的距离d＝＝.即＝，解得p＝6或p＝－2(舍去)．所以p＝6.(2)法一：依题意设M(m，－3)，由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y，所以y＝，所以y′＝，设A(x1，y1)，则以A为切点的切线l2的斜率为k＝，所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋y1.令x＝0，则y＝－x＋y1＝－×12y1＋y1＝－y1，即B点的坐标为(0，－y1)，所以＝(x1－m，y1＋3)，＝(－m，－y1＋3)，所以＝＋＝(x1－2m，6)，所以＝＋＝(x1－m，3)．设N点坐标为(x，y)，则y＝3，所以点N在定直线y＝3上．法二：设M(m，－3)，由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y，①设l2的斜率为k，A，则以A为切点的切线l2的方程为y＝k(x－x1)＋x，②\n联立①②得，x2＝12，因为Δ＝144k2－48kx1＋4x＝0，所以k＝，所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋x.令x＝0，得B点坐标为.所以＝，＝，所以＝＋＝(x1－2m，6)，所以＝＋＝(x1－m，3)，所以点N在定直线y＝3上．4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，因为A在椭圆C上，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝2，因此a＝，b2＝a2－c2＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：设直线的方程为y＝2x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，\n所以y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)＞0，故y0＝＝，且－3＜t＜3.由＝，得＝(x4－x2，y4－y2)，所以有y1－＝y4－y2，y4＝y1＋y2－＝－.又－3＜t＜3，所以－＜y4＜－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾．因此不存在满足条件的直线．
