第九章 解析几何第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系A级·基础过关|固根基|1.(2019届广西南宁适应性测试)已知直线l：3x－4y－15＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0(r>0)相交于A，B两点，若|AB|＝6，则圆C的标准方程为( )A．(x－1)2＋(y－2)2＝25B．(x－1)2＋(y－2)2＝36C．(x－1)2＋(y－2)2＝16D．(x－1)2＋(y－2)2＝49解析：选A 圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝r2，设圆心(1，2)到直线的距离为d，则d＝＝4.因为|AB|＝6，所以r2＝32＋42＝25，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25，故选A．2．(2019届湖南五市十校高三联考)两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－8＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为( )A．B．4C．D．解析：选D 两圆方程相减，得直线MN的方程为x－2y＋4＝0，圆x2＋y2＋2x－8＝0的标准方程为(x＋1)2＋y2＝9，所以圆x2＋y2＋2x－8＝0的圆心为(－1，0)，半径为3，圆心(－1，0)到直线MN的距离d＝＝，所以线段MN的长为2＝.故选D．3．(2019届昆明质检)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为( )A．1B．±1C．D．±解析：选D 圆C的方程可以化为x2＋(y－3)2＝3，圆心为C(0，3)，半径为，根据△ABC为等边三角形可知AB＝AC＝BC＝，所以圆心C(0，3)到直线y＝ax的距离d＝×＝\n，所以＝，解得a＝±.4．(2019届陕西省高三二检)已知⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，点M(－2，0)是⊙C外一点，则过点M的圆的切线方程是( )A．x＋2＝0，7x－24y＋14＝0B．y＋2＝0，7x＋24y＋14＝0C．x＋2＝0，7x＋24y＋14＝0D．y＋2＝0，7x－24y＋14＝0解析：选C 将⊙C的方程转化为(x－2)2＋(y－3)2＝16，则其圆心为(2，3)，半径为4，显然x＋2＝0是满足条件的一条切线．又圆心(2，3)到直线7x＋24y＋14＝0的距离d＝＝4，所以选项C满足，故选C．5．(2019届福州高三质检)“b∈(－1，3)”是“对于任意实数k，直线l：y＝kx＋b与圆C：x2＋(y－1)2＝4恒有公共点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 圆C：x2＋(y－1)2＝4与y轴的交点坐标为(0，－1)和(0，3)，对于任意实数k，直线l与圆C恒有公共点⇔b∈[－1，3]．因为(－1，3)[－1，3]，所以“b∈(－1，3)”是“对于任意实数k，直线l与圆C恒有公共点”的充分不必要条件．故选A．6．(2019届昆明市高三质检)已知直线l：y＝x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为( )A．3＋或3－B．3＋2或3－2C．9或－3D．8或－2解析：选A 由题知圆C的圆心为C(0，3)，半径为，取AB的中点为D，连接CD，则CD⊥AB，在△ACD中，AC＝，∠ACD＝60°，所以CD＝，由点到直线的距离公式得＝，解得m＝3±，故选A．7．(2019届沈阳市高三质量监测)已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝( )A．0B．C．或0D．或0解析：选D 因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝\n＝1，即|－1＋k|＝，解得k＝0或k＝，故选D．8．(2019届豫西南五校3月联考)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l1：y＝x，l2：y＝kx－1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，则k的值为( )A．B．1C．D．解析：选C 圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2，0)，半径为2，圆心到直线l1：y＝x的距离d1＝＝，所以l1被圆C所截得的弦长为2×＝2.圆心到直线l2的距离d2＝，又l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，所以l2被圆C所截得的弦长为4＝2×，所以d2＝0，所以2k－1＝0，解得k＝，故选C．9．(2019届福建漳州八校4月联考)若直线x－my＋m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是( )A．(0，1)B．(0，2)C．(－1，0)D．(－2，0)解析：选D 易求圆与x轴的两个交点为O(0，0)，A(2，0)，易知直线x－my＋m＝0与x轴的交点在线段OA(不含端点)上时，直线与圆的两个交点位于不同的象限，此时m应满足0<－m<2，即－2<m<0.10．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________．解析：∵圆C1的圆心为C1(3，0)，圆C2的圆心为C2(0，3)，∴直线C1C2的方程为x＋y－3＝0.由题意得，AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝011．(2019届河北五个一名校联考)在圆x2＋y2＝4上任取一点，则该点到直线x＋y－2＝0的距离d∈[0，1]的概率为________．解析：圆心(0，0)到直线x＋y－2＝0的距离为＝2，则直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相切．设直线x＋y＋m＝0与直线x＋y－2＝0的距离为1，则＝1，所以m＝－或m＝－3.当m＝－3时，直线x＋y－3＝0与圆无交点；当m＝－时，如图所示，设直线x＋y－＝0与圆交于A，B两点，易知满足题意的点在AB上，连接OA，OB，过点O作OD⊥AB，可得sin∠OAD＝＝，∴∠OAD＝30°，则∠AOB＝180°－30°×2\n＝120°，由几何概型的概率公式可得所求概率P＝＝.答案：12．(2019年全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．解：(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.由y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，所以|AB|＝|x1－x2|＝×＝2(t2＋1)．设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝，d2＝.因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).\n设M为线段AB的中点，则M.由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.B级·素养提升|练能力|13.(2019届洛阳市高三第一次统一考试)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1，0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝2.当0<r<1时，直线与圆相离，圆上没有点到直线的距离为1；当r＝1时，直线与圆相离，圆上只有1个点到直线的距离为1；当1<r<2时，直线与圆相离，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当2<r<3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1.综上，当0<r<3时，圆C上至多有2个点到直线x－y＋3＝0的距离为1.由圆C上至多有2个点到直线x－y＋3＝0的距离为1可得，0<r<3，故p是q的充要条件，故选C．14．(2020届合肥调研)若直线l：ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为( )A．2B．C．2＋1D．＋解析：选D 因为直线ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，所以圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上，所以－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，所以＋＝(a＋2b)·＋＝＋＋≥＋＝＋，当且仅当＝时等号成立，所以＋的最小值为＋，故选D．15．(2019届赣中南五校4月联考)已知直线y＝x＋m和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，O\n为坐标原点，若·＝，则实数m＝( )A．±1B．±C．±D．±解析：选C 由得2x2＋2mx＋m2－1＝0，由题意可知Δ＝4m2－8(m2－1)>0，解得－<m<.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝，所以y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝.因为＝(－x1，－y1)，＝(x2－x1，y2－y1)，·＝，所以－x1(x2－x1)－y1(y2－y1)＝，即－x1x2＋x－y1y2＋y＝.又知x＋y＝1，所以x1x2＋y1y2＝－，所以＋＝－，所以m2＝，解得m＝±，均符合Δ>0，故选C．16．(2019届唐山模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2＋y2＝4，直线l的方程为y＝k(x＋2)，若在圆O上至少存在三个点到直线l的距离为1，则实数k的取值范围是( )A．B．C．D．解析：选B 根据直线与圆的位置关系可知，若圆O：x2＋y2＝4上至少存在三个点到直线l：y＝k(x＋2)的距离为1，则圆心(0，0)到直线l的距离d应满足d≤1，即≤1，解得k2≤，即－≤k≤，故选B．
