第八章解析几何\n第八讲 圆锥曲线的综合问题第三课时 定点、定值、探索性问题\n考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n考点突破·互动探究\n例1考点一圆锥曲线的定值问题——师生共研\n\n\n\n\n求解定值问题常用的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．\n\n\n\n\n\n(1)求椭圆的方程；(2)不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且AP⊥AQ，证明：动直线l过定点，并且求出该定点坐标．例2考点二圆锥曲线中的定点问题——师生共研\n\n\n\n\n\n\n\n求解定点问题常用的方法(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明．(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．(3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明．\n\n\n\n\n例3考点三圆锥曲线中的探索性问题——师生共研\n\n\n\n\n圆锥曲线中的探索性问题1．圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种，若探究条件，则可先假设条件成立，在验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在：若探究结论，则应先求出结论的表达式，在对其表达式解析讨论，往往涉及对参数的讨论．\n2．圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立，解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．\n3．解决探索性问题的答题模板\n\n\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例4D\ny2＝2x\n①求动点P的轨迹E的方程；②设曲线E与x轴交于A、B两点，过定点N(－1，0)的直线与曲线E交于C、D两点(与A、B不重合)，证明：直线AC，BD的交点在定直线上．[解析](1)设动圆M的半径为r，则|C1M|＝r＋1，|C2M|＝3＋r，∴|C2M|－|C1M|＝2<6＝|C1C2|.∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线左支，且c＝3，a＝1，\n\n\n\n\n\n[引申1]本例(1)中，若动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_____________________.[引申2]本例(1)中，若动圆M与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为___________________.[引申3]本例(1)中，若动圆M与圆C1、圆C2都内切，则动圆圆心M的轨迹方程为___________________.[引申4]本例(1)中，若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_____________.\n求动点轨迹方程常用方法1．直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式进行整理化简．2．定义法：若动点轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．\n3．代入法：也叫相关点法，其特点是，动点M(x，y)的坐标取决于已知曲线C上的点(m，n)的坐标，可先用x，y表示m，n，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程．4．参数法：先取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x，y，得出轨迹的参数方程，然后消去参数，即得其普通方程．\nA\nB\n\n
