第1节绝对值不等式全国卷五年考情图解高考命题规律把握本题为高考选做题，以解答题形式出现，分值10分.2.考查内容(1)含绝对值不等式主要考查其解法及利用不等式恒成立求参数的值或范围；(2)不等式的证明主要考查用均值不等式、柯西不等式证明不等式. 绝对值不等式[考试要求] 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.1．绝对值不等式的解集(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法：不等式a>0a＝0a<0|x|<a{x|－a＜x＜a}∅∅|x|>a{x|x＞a或x＜－a}{x∈R|x≠0}R(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.\n(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.( )(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.( )(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立．( )(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×二、教材习题衍生1．不等式3≤|5－2x|<9的解集为( )A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]C．(－2，－1]∪[4,7)D．(－2,1]∪[4,7)D [由题意得即解得不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)．]2．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )A．(－∞，4)B．(－∞，1)C．(1,4)D．(1,5)A [①当x<1时，原不等式等价于1－x－(5－x)<2，即－4<2，恒成立，∴x<1.②当1≤x≤5时，原不等式等价于x－1－(5－x)<2，即x<4，∴1≤x＜4.③当x>5时，原不等式等价于x－1－(x－5)<2，即4<2，无解．综合①②③知x<4.]3．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝.2 [∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.]\n4．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是．[－2,4] [利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，所以a的取值范围为－2≤a≤4.]考点一 含绝对值不等式的解法 模型一 形如|x－a|±|x－b|≥(≤)c的不等式，主要有如下三种解法：①零点分段法．不妨设a＜b，利用绝对值符号内的式子对应的方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b)，[b，＋∞)三段，在每一段上去掉原不等式的绝对值符号，分别列出对应的不等式(组)并求解，然后取这些解集的并集．②图象法．作出y＝|x－a|±|x－b|和y＝c或y＝|x－a|±|x－b|－c的图象，结合图象求解．该方法体现了数形结合和函数与方程的数学思想．③几何法．利用绝对值不等式的几何意义——|x－a|±|x－b|表示数轴上所有的点到a，b对应的点的距离之和或差求解．该方法体现了数形结合的数学思想．模型二 形如|mx－a|±|nx－b|≥(≤)c的不等式，主要采用上述方法①②进行求解．模型三 形如|mx－a|±|nx－b|≥(≤)cx＋d的不等式，主要采用上述方法①②进行求解．[典例1] (1)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．①当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；②若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．(2)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.①当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；②若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．[解] (1)①当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．②因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0所以a的取值范围是[1，＋∞)．(2)①当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x>1时，①式化为x2＋x\n－4≤0，从而1＜x≤.所以f(x)≥g(x)的解集为.②当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1]．点评：(1)解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1)，选用几何法或图象法求解较为简单．若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍；(2)不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．1．已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a.(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；(2)若存在x∈R，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．[解] (1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)，得|2x＋1|≥|x|.两边平方整理，得3x2＋4x＋1≥0，解得x≤－1或x≥－.所以原不等式的解集为(－∞，－1]∪.(2)由f(x)≤g(x)，得a≥|2x＋1|－|x|.令h(x)＝|2x＋1|－|x|，则h(x)＝由分段函数图象可知h(x)min＝h＝－，从而所求实数a的取值范围为.2．(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.\n(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)>f(x＋1)的解集．[解] (1)由题设知f(x)＝y＝f(x)的图象如图所示．(2)函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y＝f(x＋1)的图象．y＝f(x)的图象与y＝f(x＋1)的图象的交点坐标为.由图象可知当且仅当x<－时，y＝f(x)的图象在y＝f(x＋1)的图象上方．故不等式f(x)>f(x＋1)的解集为.考点二 绝对值不等式性质的应用 1．求含绝对值的函数最值，常用的三种方法(1)利用绝对值的几何意义．\n(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.(3)利用零点分区间法．2．利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R)，通过确定适当的a，b，利用整体思想使函数、不等式中不含变量，可以求最值，也可以证明不等式．[典例2] (1)若对于实数x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值．(2)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.①当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；②若f(x)≤1，求a的取值范围．[解] (1)由|2x＋3y＋1|＝|2(x－1)＋3(y＋1)|≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，得|2x＋3y＋1|的最大值为7.(2)①当a＝1时，f(x)＝可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．②f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．点评：对于求y＝＋或y＝－型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝＋的函数只有最小值，形如y＝－的函数既有最大值又有最小值．1．已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)<|x|＋1；(2)若对于x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：f(x)<1.[解] (1)f(x)<|x|＋1⇔|x|－|2x－1|＋1>0，当x<0时，－x＋(2x－1)＋1>0，得x>0，所以无解；当0≤x≤时，x＋(2x－1)＋1>0，得x>0，所以0<x≤；当x>时，x－(2x－1)＋1>0，得x<2，所以<x<2.故不等式f(x)<|x|＋1的解集为{x|0<x<2}．(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×＋＝<1.故不等式f(x)＜1得证．2．已知函数f(x)＝|x|－|2x－2|.\n(1)求不等式f(x)≥－3的解集；(2)若a∈R，且a≠0，证明：|4a－1|＋≥4f(x)．[解] (1)法一：f(x)＝|x|－|2x－2|＝作出f(x)的图象，如图所示．结合图象，函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又f(－1)＝－3，f(5)＝－3，所以不等式f(x)≥－3的解集是{x|－1≤x≤5}．法二：f(x)＝|x|－|2x－2|≥－3，等价于或或，解得－1≤x＜0或0≤x＜1或1≤x≤5，所以不等式f(x)≥－3的解集是{x|－1≤x≤5}．(2)由(1)知函数f(x)的最大值是f(1)＝1，所以f(x)≤1恒成立．因为|4a－1|＋≥＝＝|4a|＋≥4，当且仅当a＝±时，等号成立．所以|4a－1|＋≥4f(x)．考点三 绝对值不等式的综合应用 与绝对值不等式有关的参数范围问题及解法设函数f(x)中含有绝对值，则(1)f(x)>a有解⇔f(x)max>a.(2)f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.(3)f(x)>a恰在(c，b)上成立⇔c，b是方程f(x)＝a的解．[典例3] (1)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.①求不等式f(x)≥1的解集；②若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．\n(2)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.①画出y＝f(x)的图象；②当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．[解] (1)①f(x)＝当x<－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x>2时，由f(x)≥1，解得x>2，所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．②由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－＋≤，当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.故m的取值范围为.(2)①f(x)＝y＝f(x)的图象如图所示．②由①知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.点评：(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．\n1．设函数f(x)＝x＋|x－a|.(1)当a＝2020时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．[解] (1)由题意得，当a＝2020时，f(x)＝因为f(x)在[2020，＋∞)上单调递增，所以f(x)的值域为[2020，＋∞)．(2)由g(x)＝|x＋1|，不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立，知|x＋1|＋|x－a|>2恒成立，即(|x＋1|＋|x－a|)min>2.而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|，所以|1＋a|>2，解得a>1或a<－3.即a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．2．已知函数f(x)＝，不等式f(x)≤4的解集为.(1)求实数a的值；(2)设g(x)＝f(x)＋f(x＋3)，若存在x∈R，使g(x)－tx≤2成立，求实数t的取值范围．[解] (1)由≤4得－4≤ax－2≤4，即－2≤ax≤6.当a>0时，－≤x≤，所以解得a＝1；当a<0时，≤x≤－，所以无解．所以实数a的值为1.(2)由已知g(x)＝f(x)＋f(x＋3)＝|x＋1|＋|x－2|＝不等式g(x)－tx≤2转化成g(x)≤tx＋2，由题意知函数g(x)的图象与直线y＝tx＋2相交，作出对应图象，由图得，当t<0时，t≤kAM；\n当t>0时，t≥kBM，又因为kAM＝－1，kBM＝，所以t≤－1或t≥，即t∈(－∞，－1]∪[，＋∞)．
