第1章集合、常用逻辑用语、不等式全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般考查2～4个小题，选择题、填空题均可能出现.2.考查内容从考查内容看，集合主要考查两个方面：一是集合的概念及表示；二是集合的基本运算．常用逻辑用语主要从四个方面考查，分别为命题及其关系、充分必要条件的判断、逻辑联结词“或”“且”“非”以及全称量词与存在量词．不等式主要考查一元二次不等式的解法和简单的线性规划问题. 集合[考试要求] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．集合与元素\n(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈和∉表示．(3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR提醒：根据元素的互异性可判断所求参数的值是否符合要求．2．集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB或BA集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B提醒：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA＝{x|x∈U且x∉A}1．对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( )(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( )\n(3)若{x2，1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×二、教材习题衍生1．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是( )A．{a}⊆AB．a⊆AC．{a}∈AD．a∉AD [a＝2∉N，则a∉A，故选D．]2．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝________，A∪B＝________.(－2,1) (－∞，3) [∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．]3．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________.[答案] {x|x是直角}4．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________．64 [∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，∴M∪N的子集有26＝64个．]考点一 集合的含义与表示解决与集合中的元素有关问题的一般思路1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )A．9 B．8 C．5 D．4A [由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为CC＝9，故选A．]\n2．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2021＋b2021＝________.－1 [由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2021＋b2021＝(－1)2021＋02021＝－1.]3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.0或 [当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.]考点二 集合间的基本关系 判断集合关系的三种方法[典例1] (1)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )A．ABB．BAC．A⊆BD．B＝A(2)(2020·武汉模拟)集合{x|－1＜x＜3，x∈N*}的非空子集个数为( )A．3B．4C．7D．8(3)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2－a＜x＜1＋a}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．(1)B (2)A (3)(－∞，2] [(1)由1－x2≥0得－1≤x≤1，则A＝{x|－1≤x≤1}，由－1≤m≤1得0≤m2≤1，则B＝{x|0≤x≤1}，所以BA，故选B．(2){x|－1＜x＜3，x∈N*}＝{1,2}，其非空子集个数为3，故选A．(3)A＝{x|－1＜x＜3}．①若B＝∅，满足B⊆A，\n此时2－a≥1＋a，即a≤.②若B≠∅，由B⊆A得，解得＜a≤2.由①②知a的取值范围为(－∞，2]．]点评：(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．(2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论，确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入验证，否则易增解或漏解．1．(2020·北京模拟)已知集合M＝{x∈R|x≥0}，N⊆M，则在下列集合中符合条件的集合N可能是( )A．{0,1}B．{x|x2＝1}C．{x|x2＞0}D．RA [因为0∈M,1∈M，所以{0,1}⊆M，故选A．]2．若集合A＝{1，m}，B＝{m2，m＋1}，且A＝B，则m＝( )A．0B．1C．±1D．0或1A [由题意知解得m＝0，故选A．]考点三 集合的基本运算 集合运算三步骤 集合的交、并、补运算[典例2－1] (1)(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )A．2B．3C．4D．6(2)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B等于( )A．(－1,1)B．(0,1)\nC．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)(1)C (2)C [(1)由题意得，A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C．(2)∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C．]点评：集合运算的常用方法(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点是实心还是空心． 根据集合的运算结果求参数[典例2－2] (1)(2020·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )A．－4B．－2C．2D．4(2)(2020·秦皇岛模拟)若集合A＝{x|x≥3－2a}，B＝{x|(x－a＋1)(x－a)≥0}，A∪B＝R，则实数a的取值范围为( )A．[2，＋∞)B．C．D．(－∞，2](1)B (2)C [(1)易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B．(2)B＝{x|x≥a或x≤a－1}，由A∪B＝R得3－2a≤a－1，解得a≥，故选C．]1．(2019·天津高考)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则(A∩C)∪B＝( )A．{2}B．{2,3}C．{－1,2,3}D．{1,2,3,4}D [由题意可知A∩C＝{1,2}，则(A∩C)∪B＝{1,2,3,4}，故选D．]2．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则( )A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＞1}D．A∩B＝∅A [B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，又A＝{x|x＜1}，则A∩B＝{x|x＜0}．A∪B＝{x|x＜1}，故选A．]\n3．已知集合A＝[1，＋∞)，B＝[0,3a－1]，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( )A．[1，＋∞)B．C．D．(1，＋∞)C [由A∩B≠∅得3a－1≥1，解得a≥，故选C．]
