第1讲绝对值不等式1．求不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集．解：原不等式等价于或或解得1≤x<2或x≥2，故原不等式的解集为{x|x≥1}． 2．(2022·忻州联考)已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．(1)求m＋n的值；(2)若|x－a|<m，求证：|x|<|a|＋1.解：(1)不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，解得1≤x≤2，所以m＝1，n＝2，m＋n＝3.(2)证明：若|x－a|<1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|<|a|＋1.即|x|<|a|＋1.3．(2022·高考重庆卷改编)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，求实数a的值．解：由于f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|，当a＞－1时，f(x)＝作出f(x)的大致图像如图所示，由函数f(x)的图像可知f(a)＝5，即a＋1＝5，所以a＝4.同理，当a≤－1时，－a－1＝5，所以a＝－6.所以实数a的值为4或－6.4．(2022·九江第一次统考)已知函数f(x)＝|x－3|－|x－a|.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≤－；(2)若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围．解：(1)因为a＝2，所以f(x)＝|x－3|－|x－2|＝所以f(x)≤－等价于或或解得≤x<3或x≥3，所以不等式的解集为.(2)由不等式的性质可知f(x)＝|x－3|－|x－a|≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|，4\n所以若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，则|a－3|≥a，解得a≤，所以实数a的取值范围是.5．(2022·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＞1化为|x＋1|－2|x－1|－1＞0.当x≤－1时，不等式化为x－4＞0，无解；当－1＜x＜1时，不等式化为3x－2＞0，解得＜x＜1；当x≥1时，不等式化为－x＋2＞0，解得1≤x＜2.所以f(x)＞1的解集为.(2)由题设可得f(x)＝所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2＞6，故a＞2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．6．(2022·河南省八校联考)已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－3|.(1)求函数y＝f(x)的最小值；(2)若f(x)≥ax＋－恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)由题意得f(x)＝所以f(x)在上是减小的，在上是增加的，所以当x＝－时，y＝f(x)取得最小值，4\nf(x)min＝f＝－.(2)由g(x)＝ax＋－的图像恒过点及函数y＝f(x)的图像可知－1≤a≤1.1．(2022·辽宁省五校协作体联考)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数t，使f≤m－f(－t)成立，求实数m的取值范围．解：(1)由|2x－a|＋a≤6，得|2x－a|≤6－a，所以a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，所以a－3＝－2，所以a＝1.(2)因为f≤m－f(－t)，所以|t－1|＋|2t＋1|＋2≤m，令y＝|t－1|＋|2t＋1|＋2，则y＝所以ymin＝，所以m≥.2．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a<3)的最小值为2.(1)解关于x的方程f(x)＝a；(2)若存在x∈R，使f(x)－mx≤1成立，求实数m的取值范围．解：(1)由f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|x－4－(x－a)|＝|a－4|(当(x－4)(x－a)≤0时取等号)，知|a－4|＝2，解得a＝6(舍去)或a＝2.方程f(x)＝a即|x－4|＋|x－2|＝2，由绝对值的几何意义可知2≤x≤4.(2)不等式f(x)－mx≤1即f(x)≤mx＋1，由题意知y＝f(x)的图像至少有一部分不在直线y＝mx＋1的上方，作出对应的图像观察可知，m∈(－∞，－2)∪.3．(2022·云南省统考)已知a、b都是实数，a≠0，f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)若f(x)>2，求实数x的取值范围；(2)若|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．解：(1)f(x)＝由f(x)>2得或解得x<或x>.所以所求实数x的取值范围为∪.(2)由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得4\n≥f(x)．又因为≥＝2，所以f(x)≤2.因为f(x)>2的解集为，所以f(x)≤2的解集为，所以所求实数x的取值范围为.4．已知函数f(x)＝|x－2|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≤2；(2)若a>0，求证：f(ax)－af(x)≤2f(a＋1)．解：(1)由题意，得f(x)＋f(x＋1)＝|x－1|＋|x－2|，因此只需解不等式|x－1|＋|x－2|≤2.当x≤1时，原不等式等价于－2x＋3≤2，即≤x≤1；当1<x≤2时，原不等式等价于1≤2，即1＜x≤2；当x>2时，原不等式等价于2x－3≤2，即2<x≤.综上，原不等式的解集为.(2)证明：由题意f(ax)－af(x)＝|ax－2|－a|x－2|.当a>0时，f(ax)－af(x)＝|ax－2|－a|x－2|＝|ax－2|－|2a－ax|≤|ax－2＋2a－ax|＝2|(a＋1)－2|＝2f(a＋1)．4
