不等式的证明[考试要求] 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．1．基本不等式的推广如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．2．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α或β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ(α，β为非零向量)时，等号成立．(3)柯西不等式的三角形不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则＋≥.(4)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．3．不等式的证明方法(1)比较法①作差法(a，b∈R)：a－b>0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b.②作商法(a>0，b>0)：>1⇔a>b；<1⇔a<b；＝1⇔a＝b.(2)综合法与分析法①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．综合法又叫顺推证法或由因导果法．②分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，\n这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)放缩法证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．(4)反证法的步骤①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×二、教材习题衍生1．不等式：①x2＋3＞3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③＋≥2，其中恒成立的是( )A．①③ B．②③C．①②③D．①②D [由①得x2＋3－3x＝＋＞0，所以x2＋3＞3x；对于②，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；对于③，因为当ab＜0时，＋－2＝＜0，即＋＜2，故选D．]2．已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为．M≥N [2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.]3．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为．\n9 [∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝3＋6＝9，当且仅当a＝b＝c时等号成立．]4．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为． [根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，即m2＋n2≥5，所以的最小值为.]考点一 用综合法与分析法证明不等式 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以开阔解题思路，开阔视野．1．(2020·全国卷Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥.[证明] (1)由题设可知，a，b，c均不为零，所以ab＋bc＋ca＝[(a＋b＋c)2－(a2＋b2＋c2)]＝－(a2＋b2＋c2)＜0.(2)不妨设max{a，b，c}＝a，因为abc＝1，a＝－(b＋c)，所以a＞0，b＜0，c＜0.由bc≤，可得abc≤，故a≥，所以max{a，b，c}≥.\n2．设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.[证明] 因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立，所以原不等式成立．3．(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.[证明] (1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.所以＋＋≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2)×(2)×(2)＝24.所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.点评：(1)利用综合法证明不等式时，常用的不等式有：①a2≥0；②|a|≥0；③a2＋b2≥2ab，它的变形形式又有(a＋b)2≥4ab，≥等；④≥(a>0，b>0)，它的变形形式又有a＋≥2(a>0)，＋≥2(ab>0)，＋≤－2(ab<0)等．(2)用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析的过程是寻求结论成立的充分条件，而不一定是充要条件，同时要正确使用“要证”“只需证”这样的“关键词”．考点二 放缩法证明不等式 (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的证明技巧，常见的放缩方法有：\n①变换分式的分子和分母，如<，>，<，>，上面不等式中k∈N*，k>1；②利用函数的单调性；③利用结论，如“若0<a<b，m>0，则<”．(2)使用绝对值不等式的性质证明不等式时，常与放缩法结合在一起应用，利用放缩法时要目标明确，通过添、拆项后，适当放缩．[典例1] (1)设a>0，<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|<a.(2)求证：＋＋＋…＋<.[证明] (1)由a>0，|x－1|<，可得|2x－2|<，又|y－2|<，∴|2x＋y－4|＝|(2x－2)＋(y－2)|≤|2x－2|＋|y－2|<＋＝a.即|2x＋y－4|<a.(2)∵<＝－，∴＋＋＋…＋<1＋＋(－＋…＋－)＝＋(－)<.点评：(1)本例(1)采用了绝对值不等式的性质证明不等式，通过变形、配凑达到证明的目的；(2)本例(2)采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰到好处．1．设n是正整数，求证：≤＋＋…＋＜1.[证明] 由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得≤＜.当k＝1时，≤＜；\n当k＝2时，≤＜；…当k＝n时，≤＜，∴＝≤＋＋…＋＜＝1.∴原不等式成立．2．若a，b∈R，求证：≤＋.[证明] 当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时，由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|⇒≥，所以＝≤＝＝＋≤＋.综上，原不等式成立．考点三 柯西不等式的应用 柯西不等式的解题策略(1)利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题．(2)利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此一定不能忘记检验等号成立的条件.[典例2] (2019·全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.[解] (1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，\n故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.(2)由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，故由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.点评：利用柯西不等式证明不等式或求解某些含有约束条件的多变量的最值问题，解决的关键是构造两组数，并向柯西不等式的形式进行转化．1．已知a，b，c∈R，且满足a＋2b＋3c＝6，求a2＋2b2＋3c2的最小值．[解] 由柯西不等式，得(1＋2＋3)(a2＋2b2＋3c2)≥(1·a＋·b＋·c)2.得6(a2＋2b2＋3c2)≥(a＋2b＋3c)2＝36.所以a2＋2b2＋3c2≥6.当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝1时，上式等号成立．所以a2＋2b2＋3c2的最小值为6.2．设x，y，z∈R，且＋＋＝1，求x＋y＋z的取值范围．[解] 由柯西不等式，得[42＋()2＋22]≥，即25×1≥(x＋y＋z)2.所以5≥|x＋y＋z|，所以－5≤x＋y＋z≤5.即x＋y＋z的取值范围是[－5,5]．3．已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.\n[证明] 由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.
