一元二次不等式及其解法[考试要求] 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．1．一元二次不等式把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，其一般形式为ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．2．一元二次不等式的解法步骤(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．提醒：二次项系数为正的一元二次不等式的解集求法：“大于取两边，小于取中间”．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅提醒：解集的端点是对应方程的根．1．一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＞0且Δ＜0；\n(2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＜0且Δ＜0.2．简单分式不等式(1)≥0⇔(2)＞0⇔f(x)g(x)＞0.3．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×二、教材习题衍生1．不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为( )A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜2}C．{x|x＜－2或x＞1}D．{x|x＜－1或x＞2}A [方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x|－2＜x＜－1}，故选A．]2．已知集合A＝{x|x2－x－6＞0}，则∁RA等于( )A．{x|－2＜x＜3}B．{x|－2≤x≤3}C．{x|x＜－2}∪{x|x＞3}D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}B [由x2－x－6＞0得x＞3或x＜－2，即A＝{x|x＜－2，或x＞3}，∴∁RA＝{x|－2≤x≤3}，故选B．]3．关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集为∅，则a的取值范围是________．(9，＋∞) [由题意知，x2－6x＋a＞0的解集为R，则Δ＝(－6)2－4a＜0，解得a＞9.]4．关于x的不等式－x2＋2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，则m＝________.1 [由题意知，x＝2是方程－x2＋2x＝mx的一个根，则2m＝－×22＋2×2＝2，解得m＝1.]\n考点一 不含参数的一元二次不等式 解一元二次不等式的四个步骤1．不等式2x＋3－x2＞0的解集是( )A．{x|－1＜x＜3}B．{x|x＞3或x＜－1}C．{x|－3＜x＜1}D．{x|x＞1或x＜－3}A [不等式2x＋3－x2＞0可化为x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜3，故选A．]2．已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是( )A．{x|2<x<3} B．{x|x≤2或x≥3}C．D．B [∵不等式ax2－bx－1>0的解集是，∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，∴解得则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]3．不等式0＜x2－x－2≤4的解集是( )A．{x|－2≤x＜－1}B．{x|2＜x≤3}\nC．{x|－2≤x≤3}D．{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}D [原不等式等价于⇔⇔⇔⇔－2≤x＜－1或2＜x≤3，故选D．]考点二 含参数的一元二次不等式 解含参不等式的分类讨论依据[典例1] 解关于x的不等式(1)x2＋ax＋1＜0(a∈R)；(2)ax2－(a＋1)x＋1＜0.[解] (1)Δ＝a2－4.①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式无解．②当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，则原不等式的解集为.综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式无解．当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为.(2)若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，解得x＞1.若a＜0，原不等式等价于(x－1)＞0，解得x＜或x＞1.若a＞0，原不等式等价于(x－1)＜0.\n①当a＝1时，＝1，(x－1)＜0无解；②当a＞1时，＜1，解(x－1)＜0，得＜x＜1；③当0＜a＜1时，＞1，解(x－1)＜0，得1＜x＜.综上所述，当a＜0时，解集为；当a＝0时，解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，解集为；当a＝1时，解集为∅；当a＞1时，解集为.点评：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．解关于x的不等式12x2－ax＞a2(a∈R)．[解] 原不等式可化为12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.当a＞0时，不等式的解集为∪；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a＜0时，不等式的解集为∪.考点三 一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立问题的解法(1)函数法(图象法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．①f(x)＞0在x∈R上恒成立⇔a＞0且Δ＜0；②f(x)＜0在x∈R上恒成立⇔a＜0且Δ＜0；\n③当a＞0时，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立⇔或或f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立⇔④当a＜0时，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立⇔f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立⇔或或(2)最值法对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题．a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max，a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min. 在R上的恒成立问题[典例2－1] 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，2] B．[－2,2]C．(－2,2]D．(－∞，－2)C [当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0，对一切x∈R恒成立．当a≠2时，则即解得－2＜a＜2.所以实数a的取值范围是(－2,2]．]点评：本题在求解中常因忽略“a－2＝0”的情形致误，只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况． 在给定区间上的恒成立问题[典例2－2] (1)若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是( )A．(－∞，－3]B．(－∞，0]C．[1，＋∞)D．(－∞，1](2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋1对任意x∈(0,2]恒有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是( )A．B．[－1,1]C．(－∞，1]D．(1)A (2)C [(1)法一(函数法)：令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，得解得a≤－3，故选A．\n法二(最值法)：当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1,2])．而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3，故选A．(2)f(x)＝x2－2ax＋1对任意x∈(0,2]恒有f(x)≥0成立，即2a≤x＋在x∈(0,2]上恒成立．因为x＋≥2，当且仅当x＝1时取最小值2，所以2a≤2，即a≤1.故选C．][母题变迁]若将本例(1)改为“若存在x∈[－1,2]，使得x2－2x＋a≤0(a为常数)，试求a的取值范围．”[解] 由题意知a≤－x2＋2x在x∈[－1,2]时有解．则a≤(－x2＋2x)max，x∈[－1,2]，又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，x∈[－1,2]，∴a≤1，即a的取值范围是(－∞，1]．点评：本例T(2)若用函数法求解有三种情况，较复杂．1．若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )A．(－3,0)B．[－3,0)C．[－3,0]D．(－3,0]D [当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立．则解得－3＜k＜0.综上，满足不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．故选D．]2．(2020·深圳中学模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为________． [∵满足1<x<4的一切x值，都有f(x)＝ax2－2x＋2>0恒成立，可知a≠0，∴a>＝2，满足1<x<4的一切x的值恒成立，\n∵<<1,2∈，实数a的取值范围为.]
