选修4-5 不等式选讲1.[2021晋南高中联考]已知函数f(x)=|x+3|-|x-1|.(1)在图1坐标系中画出函数y=f(x)的图象,并写出f(x)的值域;(2)若f(x)≤|x+a|恒成立,求a的取值范围.图12.[2021长春市高三质监]已知a>0,b>0,a+b=4.(1)求证:a2+b2≥22.(2)求证:1a+2+2b≥12+23.3.[2021蓉城名校联考]已知m>n>0,函数f(x)=|x+1n(m-n)|.(1)若m=3,n=1,求不等式f(x)>2的解集;(2)求证:f(x)≥4-|x-m2|.4.[2020陕西省部分学校摸底检测]已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-4时,求不等式f(x)≥6的解集;(2)若f(x)≤|x-3|的解集包含[0,1],求实数a的取值范围.5.[2020河南安阳高三第一次调研考试]已知函数f(x)=|x+1|+a|x+2|.(1)求a=1时,f(x)≤3的解集;(2)若f(x)有最小值,求a的取值范围,并写出相应的最小值.\n6.[2019四省八校联考]已知f(x)=|2x-1|-|x+2|,g(x)=|x-a|-|x+a+1|.(1)解不等式f(x)>4;(2)若∀x1∈R,∃x2∈R,使得f(x2)=g(x1),求实数a的取值范围.7.[2021贵阳市四校第二次联考]已知函数f(x)=|2x+2|-5.(1)解不等式:f(x)≥|x-1|.(2)当m≥-1时,函数g(x)=f(x)+|x-m|的图象与x轴围成一个三角形,求实数m的取值范围.8.[2021安徽省示范高中联考]已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+3|.(1)求不等式|2x-1|+|2x+3|≤9的解集;(2)若关于x的方程f(x)-k2+3k=0有实数解,求实数k的取值范围.9.[2021陕西百校联考]已知函数f(x)=|x-1|-|3-2x|.(1)求不等式f(x)≥12(x-1)的解集;(2)若函数f(x)的最大值为n,且2a+b=n(a>0,b>0),求2a+1b的最小值.10.[2020惠州市一调]已知f(x)=|x+1|+|ax-a+1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若x≥1时,不等式f(x)≥x+2恒成立,求a的取值范围.11.[2020四川五校联考]已知函数f(x)=|x-1|.\n(1)求不等式f(2x)-f(x+1)≥2的解集;(2)若a>0,b>0且a+b=f(3),求证:a+1+b+1≤22.12.[2020安徽安庆二模]已知a>0,b>0,且a2+b2=1.(1)若对任意的正数a,b,不等式|2x-1|≤1a2+1b2恒成立,求实数x的取值范围;(2)证明:(1a+1b)(a5+b5)≥1.答案选修4-5 不等式选讲1.(1)由题设知,f(x)=-4,x≤-32x+2,-3<x<14,x≥1,其图象如图D4所示,图D4由图可得f(x)的值域为[-4,4].(2)在同一坐标系中画出y=|x+a|的大致图象,当y=|x+a|的图象过点(1,4)时,a=3或-5,由图D5知,若f(x)≤|x+a|恒成立,则a≥3.\n图D52.(1)因为a>0,b>0,所以a2+b2≥2ab,所以a2+b2≥a2+b2+2ab2,所以a2+b2≥22(a+b)=22,当且仅当a=b=2时取等号.(2)因为a+b=4,所以a+2+b=6,所以1a+2+2b=(1a+2+2b)×a+2+b6=16[1+2+ba+2+2(a+2)b]≥16(3+22)=12+23,当且仅当2(a+2)=ba+b=4,即a=62-8b=12-62时取等号.3.(1)依题意,得f(x)=|x+12|,则f(x)>2⇔|x+12|>2⇔x+12>2或x+12<-2,解得x>32或x<-52,故不等式f(x)>2的解集为{x|x>32或x<-52}.(2)依题意,f(x)≥4-|x-m2|⇔|x+1n(m-n)|+|x-m2|≥4,因为|x+1n(m-n)|+|x-m2|≥|x+1n(m-n)-(x-m2)|=m2+1n(m-n),m=n+(m-n)≥2n(m-n),故1n(m-n)≥4m2,故m2+1n(m-n)≥m2+4m2≥4,当且仅当m=2,n=22时,等号成立.4.(1)当a=-4时,f(x)≥6即|x-4|+|x-2|≥6,即x≤2,4-x+2-x≥6或2<x<4,4-x+x-2≥6或x≥4,x-4+x-2≥6,解得x≤0或x∈⌀或x≥6,所以原不等式的解集为(-∞,0]∪[6,+∞).(2)f(x)≤|x-3|的解集包含[0,1]等价于f(x)≤|x-3|在[0,1]上恒成立,即|x+a|+2-x≤3-x在[0,1]上恒成立,即-1-x≤a≤1-x在[0,1]上恒成立,所以-1≤a≤0,即实数a的取值范围为[-1,0].【归纳总结】 解含有两个绝对值符号的不等式常用的方法是零点分段法.解答本题第(2)问的关键是先将问题转化为不等式恒成立问题,然后转化为求函数最值的问题.5.(1)当a=1时,f(x)=|x+1|+|x+2|=-2x-3,x≤-2,1,-2<x<-1,2x+3,x≥-1.当x≤-2时,f(x)≤3即-2x-3≤3,解得-3≤x≤-2;当-2<x<-1时,f(x)≤3即1≤3,恒成立;当x≥-1时,f(x)≤3即2x+3≤3,解得-1≤x≤0.综上可得f(x)≤3的解集为[-3,0].(2)f(x)=|x+1|+a|x+2|=-(a+1)x-2a-1,x≤-2,(a-1)x+2a-1,-2<x<-1,(1+a)x+2a+1,x≥-1.\n当-(a+1)>0,即a<-1时,f(x)无最小值;当-(a+1)=0,即a=-1时,f(x)有最小值-1;当-(a+1)<0且a-1≤0,即-1<a≤1时,f(x)min=f(-1)=a;当-(a+1)<0且a-1>0,即a>1时,f(x)min=f(-2)=1.综上,若f(x)有最小值,则a的取值范围为[-1,+∞),且当-1≤a≤1时,f(x)min=f(-1)=a,当a>1时,f(x)min=f(-2)=1.6.(1)f(x)>4,即|2x-1|-|x+2|>4.当x<-2时,-(2x-1)+(x+2)>4,解得x<-2;当-2≤x≤12时,-(2x-1)-(x+2)>4,解得-2≤x<-53;当x>12时,2x-1-(x+2)>4,解得x>7.综上,不等式f(x)>4的解集为{x|x<-53或x>7}.(2)因为∀x1∈R,∃x2∈R,使得f(x2)=g(x1),所以g(x)的值域是f(x)值域的子集.因为f(x)=|2x-1|-|x+2|= -x+3,x<-2,-3x-1,-2≤x≤12,x-3,x>12,所以可得f(x)的值域为[-52,+∞).易知g(x)=|x-a|-|x+a+1|的值域为[-|2a+1|,|2a+1|],所以-|2a+1|≥-52,即|2a+1|≤52,则-52≤2a+1≤52,-74≤a≤34,即实数a的取值范围为[-74,34].7.(1)由题意知,原不等式等价于x≤-1,-2x-2-5≥1-x或-1<x≤1,2x+2-5≥1-x或x>1,2x+2-5≥x-1,解得x≤-8或∅或x≥2,综上,不等式f(x)≥|x-1|的解集为(-∞,-8]∪[2,+∞).(2)当m=-1时,g(x)=|2x+2|-5+|x+1|=3|x+1|-5,此时g(x)的图象与x轴围成一个三角形,满足题意;当m>-1时,g(x)=|2x+2|-5+|x-m|=-3x+m-7,x≤-1,x+m-3,-1<x≤m,3x-m-3,x>m,则函数g(x)在(-∞,-1]上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,要使函数g(x)的图象与x轴围成一个三角形,则g(-1)=m-4<0,g(m)=2m-3≥0,解得32≤m<4.综上所述,实数m的取值范围为[32,4)∪{-1}.8.(1)原不等式等价于x>12,(2x-1)+(2x+3)≤9或-32≤x≤12,-(2x-1)+(2x+3)≤9或x<-32,-(2x-1)-(2x+3)≤9,\n解得12<x≤74或-32≤x≤12或-114≤x<-32,所以不等式的解集为{x|-114≤x≤74}.(2)|2x-1|+|2x+3|≥|2x-1-2x-3|=4,方程f(x)-k2+3k=0有实数解,即函数y=f(x)与y=k2-3k的图象有交点,只需k2-3k≥4,解得k≤-1或k≥4.所以实数k的取值范围为{k|k≤-1或k≥4}.9.(1)由已知得f(x)=x-2,x<1,3x-4,1≤x≤32,-x+2,x>32,∴当x<1时,x-2≥12(x-1),无解;当1≤x≤32时,3x-4≥12(x-1)⇒75≤x≤32;当x>32时,-x+2≥12(x-1)⇒32<x≤53.综上所述,不等式的解集为[75,53].(2)由(1)可知f(x)max=f(32)=n=12,∵2a+b=n=12(a>0,b>0),∴2a+1b=2(2a+1b)(2a+b)=2(4+1+2ab+2ba)=10+4(ab+ba)≥10+4×2ba·ab=18,当且仅当ab=ba,即a=b=16时,“=”成立.故2a+1b的最小值为18.10.(1)解法一 当a=1时,不等式f(x)≥3即|x+1|+|x|≥3.当x<-1时,-x-1-x≥3,解得x≤-2,所以x≤-2;当-1≤x<0时,x+1-x≥3,无解;当x≥0时,x+1+x≥3,解得x≥1,所以x≥1.综上,不等式f(x)≥3的解集为(-∞,-2]∪[1,+∞).解法二 当a=1时,f(x)=|x+1|+|x|=-2x-1,x<-1,1,-1≤x<0,2x+1,x≥0,当x<-1时,-2x-1≥3,解得x≤-2,所以x≤-2;当-1≤x<0时,1≥3显然不成立;当x≥0时,2x+1≥3,解得x≥1,所以x≥1.综上,不等式f(x)≥3的解集为(-∞,-2]∪[1,+∞).(2)解法一 当x≥1时,不等式f(x)≥x+2恒成立即|ax-a+1|≥1恒成立.令g(x)=a(x-1)+1,则g(x)的图象为过定点(1,1)且斜率为a的直线.数形结合可知,当a≥0时,|ax-a+1|≥1在[1,+∞)上恒成立.所以,所求a的取值范围为[0,+∞).\n解法二 当x≥1时,不等式f(x)≥x+2恒成立即|ax-a+1|≥1恒成立.所以ax-a+1≤-1或ax-a+1≥1,即a(x-1)≤-2或a(x-1)≥0.当x≥1时,∀a∈R,不等式a(x-1)≤-2不恒成立,当x≥1时,要使不等式a(x-1)≥0恒成立,需a≥0.所以,所求a的取值范围为[0,+∞).11.解法一 (1)因为f(x)=|x-1|,所以f(2x)-f(x+1)=|2x-1|-|x|=1-x,x≤0,1-3x,0<x<12,x-1,x≥12,由f(2x)-f(x+1)≥2得x≤0,1-x≥2或0<x<12,1-3x≥2或x≥12,x-1≥2,解得x≤-1或x∈⌀或x≥3,所以不等式的解集为(-∞,-1]∪[3,+∞).(2)a+b=f(3)=2,要证a+1+b+1≤22成立,只需证(a+1+b+1)2≤(22)2成立,即证a+b+2+2(a+1)(b+1)≤8,只需证(a+1)(b+1)≤2成立.因为a>0,b>0,所以根据基本不等式得(a+1)(b+1)≤(a+1)+(b+1)2=2成立(当且仅当a=b=1时取等号),故命题得证.解法二 (1)因为f(x)=|x-1|,所以f(2x)-f(x+1)=|2x-1|-|x|=1-x,x≤0,1-3x,0<x<12,x-1,x≥12,作出函数g(x)=f(2x)-f(x+1)的图象与直线y=2(如图D6),图D6因为直线y=2和函数g(x)图象的交点为A(-1,2),B(3,2),所以不等式g(x)≥2的解集为(-∞,-1]∪[3,+∞).(2)a+b=f(3)=2,又a>0,b>0,所以2·a+1≤a+32,2·b+1≤b+32,故2·a+1+2·b+1≤a+32+b+32=4,\n所以a+1+b+1≤22成立(当且仅当a=b=1时取等号).故命题得证.【方法总结】 含绝对值的不等式的解法有两种:一是零点分段法,即运用分类讨论思想求解;二是利用绝对值的几何意义求解,即运用数形结合思想求解.12.(1)因为a2+b2=1,所以1a2+1b2=(1a2+1b2)(a2+b2)=2+b2a2+a2b2≥2+2b2a2·a2b2=4,即1a2+1b2≥4,当且仅当a=b=22时取等号,因此1a2+1b2的最小值是4.又对任意的正数a,b,不等式|2x-1|≤1a2+1b2恒成立,所以|2x-1|≤4,即-4≤2x-1≤4,解得-32≤x≤52.故实数x的取值范围是[-32,52].(2)(基本不等式)因为a>0,b>0,且a2+b2=1,所以(1a+1b)(a5+b5)=a4+b4+b5a+a5b=(a2+b2)2+b5a+a5b-2a2b2≥(a2+b2)2+2b5a·a5b-2a2b2=(a2+b2)2+2a2b2-2a2b2=(a2+b2)2=1.
