课后限时集训(六十七) 离散型随机变量及其分布列建议用时：40分钟一、选择题1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )A．0B．C．D．C [由已知得X的所有可能取值为0,1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝.]2．若离散型随机变量X的分布列为X01P9c2－c3－8c则常数c的值为( )A．或B．C．D．1C [根据离散型随机变量分布列的性质知解得c＝.]3．若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )A．(－∞，2]B．[1,2]C．(1,2]D．(1,2)C [由随机变量X的分布列知P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，P(X＝2)＝0.1，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．]4．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )A．ξ＝4B．ξ＝5C．ξ＝6D．ξ≤5C [“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.]\n5．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( )A．B．C．D．C [如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.]二、填空题6．设随机变量X的概率分布列为X1234Pm则P(|X－3|＝1)＝. [由＋m＋＋＝1，解得m＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.]7．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝. [P(ξ≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝＋＝.]8．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是．－1,0,1,2,3 [X＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到两个题都答错了．X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对．X＝2时，甲抢到2题均答对．X＝3时，甲抢到3题均答对．]三、解答题9．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．[解] (1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P＝1－\n＝1－＝.(2)由题意知，X的可能取值为1,2,3,4，且P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.所以随机变量X的分布列是X1234P10.PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2019年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．[解] (1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝＝.(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)．∴P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，\nP(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.故ξ的分布列为ξ0123P1．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012Pa若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于( )A．B．C．D．D [由分布列的性质，得a＋＋＝1，所以a＝.而x∈[1,2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.]2．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是( )A．P(X＝3)B．P(X≥2)C．P(X≤3)D．P(X＝2)D [由超几何分布知P(X＝2)＝.]3.如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝. [法一：(直接法)由已知得，X的取值为7,8,9,10，\n∵P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝10)＝＝，∴X的概率分布列为X78910P∴P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝＋＋＝.法二：(间接法)由已知得，X的取值为7,8,9,10，故P(X≥8)与P(X＝7)是对立事件，所以P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－＝.]4．随着高考制度的改革，某省即将实施“语数外＋3”的新高考改革方案，2019年秋季入学的高一新生将面临从物理(物)、化学(化)、生物(生)、政治(政)、历史(历)、地理(地)六科中任选三科(共20种选法)作为自己将来高考要考的“语数外＋3”中的“3”．某市为了顺利迎接新高考改革，在某高中200名学生中进行“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种，得到学生模拟选课数据统计如下表：序号12345组合学科物化生物化政物化历物化地物生政人数20人5人10人10人5人序号678910组合学科物生历物生地物政历物政地物历地人数15人10人5人0人5人序号1112131415组合学科化生政化生历化生地化政历化政地人数5人…………序号1617181920组合学科化历地生政历生政地生历地政历地人数…10人5人…25人\n合计200人为了解学生学习成绩与学生模拟选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析．(1)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人要学习生物的概率；(2)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，记这3人中要学习地理的人数为X，求随机变量X的分布列．[解] (1)由题意可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习生物的有4人，则从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，……这3人中至少有2人要学习生物的概率P＝＝.(2)由题意可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习地理的有2人，则X的所有可能取值为0,1,2.所以P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝.X的分布列为X012P1．有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．(1)n的值为；(2)P(X＝3)＝.(1)4 (2) [(1)因为当X＝2时，有C种坐法，所以C＝6，即＝6，n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，则P(X＝3)＝＝＝\n.]2．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为．ξ01P[ξ的可能取值为0,1，.P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝)＝＝.P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝.所以随机变量ξ的分布列为ξ01P ]
