课时作业73 离散型随机变量及其分布列一、选择题1．已知随机变量ξ的分布列为：ξ－101P0.70.20.1则ξ最可能出现的值是( )A．0.7B．－1C．0D．1解析：因为P(ξ＝－1)＝0.7，P(ξ＝0)＝0.2，P(ξ＝1)＝0.1，所以ξ最可能出现的值是－1.故选B.答案：B2．某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )A．0.28B．0.88C．0.79D．0.51解析：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.答案：C3．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为( )A.B．C.D．解析：由×a＝1，6\n知a＝1，解得a＝.故P＝P(1)＋P(2)＝×＋×＝.答案：D4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )A．0B．C.D．解析：设X的分布列为X01Pp2p即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.由p＋2p＝1，则p＝，故应选C.答案：C5．带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X表示放出的蜂中工蜂的只数，则X＝2时的概率是( )A.B．C.D．解析：X服从超几何分布，P(X＝2)＝.答案：B6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为( )A.B．C.D．解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝.6\n答案：C二、填空题7．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1<x2，则P(x1≤ξ≤x2)等于________．解析：由分布列性质可有：P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．答案：1－(α＋β)8．从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.答案：9．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．解析：设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，∴a＝，由得－≤d≤.答案：三、解答题10．从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸到的球中有红球(不放回)，则试验结束．(1)求第一次试验摸到一个红球和一个白球的概率．(2)记试验次数为X，求X的分布列．解：(1)记“第一次试验摸到一个红球和一个白球”为事件A，则P(A)＝＝.(2)由题意知X＝1,2,3,4，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝×＝，6\nP(X＝3)＝××＝，P(X＝4)＝×××＝，所以X的分布列为X1234P11.某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n>8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列．解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为＝，则≥，化简得n2－25n＋144≤0，解得9≤n≤16，故n的最大值为16.(2)由题意得，ξ的可能取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，ξ的分布列为ξ012P1．一位客人游览福州鼓山、福州永泰天门山、福州青云山这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设Y表示客人离开福州市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．求Y的分布列．6\n解：分别记“客人游览福州鼓山”，“客人游览福州永泰天门山”，“客人游览福州青云山”为事件A1，A2，A3.因为事件A1，A2，A3是相互独立的，P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6.由于客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3，相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3,2,1,0，所以Y的所有可能取值为1,3.所以P(Y＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P(1·2·3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(1)P(2)P(3)＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24，P(Y＝1)＝1－0.24＝0.76，所以Y的分布列为Y13P0.760.242．在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地随机抽取两张卡片，记第一次抽取的卡片的标号为x，第二次抽取的卡片的标号为y，设O为坐标原点，点P的坐标为(x－2，x－y)，记ξ＝||2，(1)求随机变量ξ的最大值，并求“ξ取最大值”的概率．(2)求随机变量ξ的分布列．解：(1)因为x，y可能的取值为1,2,3，所以|x－2|≤1，|x－y|≤2，所以ξ＝(x－2)2＋(x－y)2≤5.且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，ξ＝5，因此，随机变量ξ的最大值为5.又因为有放回地随机抽取两张卡片共有3×3＝9种情况，所以P(ξ＝5)＝.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,5.因为ξ＝0时，x＝2，y＝2，ξ＝1时，x＝1，y＝1；x＝2，y＝1；x＝2，y＝3；x＝3，y＝3.ξ＝2时，x＝1，y＝2；x＝3，y＝2.所以P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，则随机变量ξ的分布列为ξ01256\nP6
