第十二章概 率第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差练好题·考点自测1.[改编题]下列结论正确的个数是( )(1)数学期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.(2)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(4)随机变量的均值是常数,样本的均值是随机变量.(5)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.(6)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.A.2B.3C.4D.52.[2020全国卷Ⅲ,3,5分][理]在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且4i=1pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( )A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.23.[2020菏泽联考]一盒中有12个乒乓球,其中9个新球、3个旧球,从盒中任取3个球来用,用完后装回(用过一次的球就是旧球),此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.21554.[2019浙江,7,4分]设0<a<1.随机变量X的分布列是X0a1P131313则当a在(0,1)内增大时,( )A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大\n5.[2021广东模拟]设某项试验的成功率为失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)的值为( )A.1B.12C.13D.156.[2020浙江重点高中联考]已知0<a<1,随机变量X的分布列如下:X-101P(1-a)22a(1-a)a2若E(X)=D(X),则实数a的值为( )A.13B.14C.12D.227.[递进型]已知离散型随机变量ξ~B(5,p),且E(ξ)=2,则D(ξ)= ;若η=12ξ+1,则D(η)= . 8.[2020浙江,16,6分]盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)= ,E(ξ)= . 拓展变式1.[2021河南省名校第一次联考]某公司年会有幸运抽奖环节,一个箱子里有相同的十个乒乓球,球上分别标0,1,2,…,9这十个自然数,每位员工有放回依次取出三个球.规定:每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖.中奖项:三个数字全部相同中一等奖,奖励10000元现金;三个数字中有两个数字相同中二等奖,奖励5000元现金;三个数字各不相同中三等奖,奖励2000元现金.其他不中奖,没有奖金.(1)求员工A中二等奖的概率;(2)设员工A中奖奖金为X,求X的分布列;(3)员工B是优秀员工,有两次抽奖机会,求员工B中奖奖金的期望.\n2.[2020天津新华中学模拟]某中学用简单随机抽样的方法抽取了100名同学,对其社会实践次数进行调查,结果如下.社会实践次数[0,3)[3,6)[6,9)[9,12)[12,15)[15,18]男同学人数715111221女同学人数51320932将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”.(1)将频率视为概率,估计该校1600名学生中“社会实践标兵”有多少人.(2)从已抽取的“社会实践标兵”中随机抽取4名同学参加社会实践表彰活动.(i)设事件A为“抽取的4名同学中既有男同学又有女同学”,求事件A发生的概率;(ii)用X表示抽取的“社会实践标兵”中男同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.3.[2021福建省五校第二次联考]某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕,这两天是否有雨相互独立,无雨的概率都为0.8.现有两种方案可以选择,方案一:基地人员自己采摘,不额外聘请工人,需要两天完成,两天都无雨收益为2万元,只有一天有雨收益为1万元,两天都有雨收益为0.75万元.方案二:基地额外聘请工人,只要一天就可以完成采摘,当天无雨收益为2万元,有雨收益为1万元,额外聘请工人的成本为a万元.(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益.(2)该基地是否应该外聘工人?请说明理由.答案\n第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差1.B 由数学期望的公式可知(1)错误;在离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和为1,故(2)错误;由离散型随机变量的分布列的特点可知(3)正确;由均值和方差的含义可知(4)(5)正确;均值反映的是一组数据的整体水平,而方差反映的是一组数据的离散程度,故(6)错误.故选B.2.B 对于A,当p1=p4=0.1,p2=p3=0.4时,随机变量XA的分布列为XA1234P0.10.40.40.1E(XA)=1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5,D(XA)=(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=1.52×0.1+0.52×0.4+0.52×0.4+1.52×0.1=0.65,所以D(XA)=0.65.对于B,C,D,同理可得D(XB)=1.85,D(XC)=1.05,D(XD)=1.45,所以B中的标准差最大.3.C 当X=4时,表示从盒中取出的3个球中有2个旧球,1个新球,故P(X=4)=C32C91C123=27220.故选C.4.D 由分布列得E(X)=1+a3.解法一 D(X)=(1+a3-0)2×13+(1+a3-a)2×13+(1+a3-1)2×13=29(a-12)2+16,所以当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.故选D.解法二 D(X)=E(X2)-[E(X)]2=0+a23+13-(a+1)29=2a2-2a+29=29[(a-12)2+34],所以当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.故选D.5.C 设该项试验失败的概率为p,则成功的概率为2p,所以X的分布列为X01Pp2p由p+2p=1,得p=13,即P(X=0)=13.故选C.6.D 解法一 由随机变量X的分布列及数学期望和方差的计算公式知,E(X)=-(1-a)2+a2=2a-1,D(X)=(-1-2a+1)2(1-a)2+(-2a+1)2×2a(1-a)+(1-2a+1)2a2=2a(1-a).因为E(X)=D(X),所以2a-1=2a(1-a),得a=22,故选D.\n解法二 令Y=X+1,则X=Y-1,随机变量Y的分布列为Y012P(1-a)22a(1-a)a2由二项分布的有关知识知,Y~B(2,a),所以E(Y)=2a,D(Y)=2a(1-a),所以E(X)=E(Y-1)=E(Y)-1=2a-1,D(X)=D(Y-1)=D(Y)=2a(1-a).又E(X)=D(X),所以2a-1=2a(1-a),得a=22,故选D.7.65 310 因为ξ~B(5,p),E(ξ)=2,所以5p=2,解得p=25,所以D(ξ)=5p(1-p)=5×25×(1-25)=65.又η=12ξ+1,所以D(η)=D(12ξ+1)=14D(ξ)=310.8.13 1 ξ=0表示停止取球时没有取到黄球,所以P(ξ=0)=14+14×13=13.随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,则P(ξ=1)=24×13+24×13×12+14×23×12=13,P(ξ=2)=24×13×12+14×23×12+24×13×12+24×13×12=13,所以E(ξ)=0×13+1×13+2×13=1.1.(1)记事件“员工A中二等奖”为M,有放回,依次取三个球的取法有103种.中二等奖取法有两类:一类是前两次取到同一数字,从10个数字中取出2个,较大的数是前两次取出的数,较小的数是第3次取出的数,取法数为C102=45;另一类是后两次取到同一数字,取法数同样是C102=45.共90种取法,则P(M)=90103=0.09.(2)X的可能取值为0,2000,5000,10000.P(X=2000)=C103103=0.12;P(X=5000)=90103=0.09;P(X=10000)=10103=0.01;P(X=0)=1-P(X=2000)-P(X=5000)-P(X=10000)=0.78.则X的分布列为X10000500020000P0.010.090.120.78\n(3)由(2)可知A中奖奖金的期望E(X)=10000×0.01+5000×0.09+2000×0.12+0×0.78=790(元)(先求抽一次奖的奖金期望,再乘以2即为抽二次奖的奖金期望).员工B每次中奖奖金的期望和A一样,由题意可知员工B中奖奖金的期望是1580元.2.(1)样本中社会实践次数不低于12次的学生有2+1+3+2=8(人),所以该校1600名学生中“社会实践标兵”约有1600×8100=128(人).(2)由(1)知样本中有8名“社会实践标兵”,其中男同学3人,女同学5人.(i)略
