增分强化练(三十一)考点一 范围、最值问题 (2019·大连模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2交于点M.(1)求p的值；(2)若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值．解析：(1)由题意知，抛物线焦点为：，准线方程为：y＝－，焦点到准线的距离为2，即p＝2.(2)抛物线的方程为x2＝4y，即y＝x2，所以y′＝x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1：y－＝(x－x1)，l2：y－＝(x－x2)，由于l1⊥l2，所以·＝－1，即x1x2＝－4.设直线l方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，得，所以x2－4kx－4m＝0，Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m＝－4，所以m＝1.即l：y＝kx＋1，联立方程，得，即M(2k，－1)，M点到直线l的距离d＝＝，|AB|＝＝4(1＋k2)，所以S＝×4(1＋k2)×＝4(1＋k2)≥4，当k＝0时，△MAB面积取得最小值4.考点二 定点、定值问题 (2019·南昌模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点M在C的长轴上运动，过点M且斜率大于0的直线l与C交于P，Q两点，与y轴交于N点．当M为C的右焦点且l的倾斜角为时，N，P重合，|PM|＝2.(1)求椭圆C的方程；\n(2)当N，P，Q，M均不重合时，记＝λ，＝μ，若λμ＝1，求证：直线l的斜率为定值．解析：(1)因为当M为C的右焦点且l的倾斜角为时，N，P重合，|PM|＝2，所以a＝|PM|＝2，故＝tan＝，因为a2＝b2＋c2，因此c＝，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设l：x＝ty＋m(m≠0)，所以M(m,0)，N，所以kl＝.因为斜率大于0，所以t>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＝，＝，由＝λ得，x1＝λx2，①同理可得y1＝μy2，②①②两式相乘得，x1y1＝λμx2y2，又λμ＝1，所以x1y1＝x2y2，所以(ty1＋m)y1＝(ty2＋m)y2，即t(y－y)＝m(y2－y1)，即(y2－y1)＝0，由题意kl>0，知y1－y2≠0，所以m＋t(y1＋y2)＝0.联立方程组，得(t2＋4)y2＋2tmy＋m2－4＝0，依题意，y1＋y2＝－，所以m－＝0，又m≠0，\n所以t2＝4，因为t>0，故得t＝2，所以kl＝＝，即直线l的斜率为.考点三 存在性问题 已知抛物线y2＝4x，过点P(8，－4)的动直线l交抛物线于A，B两点．(1)当P恰为AB的中点时，求直线l的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点Q，使得以弦AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，当P恰为AB的中点时，显然x1≠x2，故kAB＝＝，又y1＋y2＝－8，故kAB＝－，则直线l的方程为y＝－x.(2)假设存在定点Q，设Q，当直线l斜率存在时，设l：y＝k(x－8)－4(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，整理得ky2－4y－32k－16＝0，Δ>0，y1＋y2＝，y1y2＝－32－，由以弦AB为直径的圆恒过点Q知·＝0，即＋(y1－y0)(y2－y0)＝0，即＋(y1－y0)(y2－y0)＝(y1－y0)(y2－y0)＝0，故(y1＋y0)(y2＋y0)＝－16，即y1y2＋y0(y1＋y2)＋y＋16＝0，整理得(y－16)k＋4(y0－4)＝0，即当y0＝4时，恒有·＝0，故存在定点Q(4,4)满足题意；当直线l斜率不存在时，l：x＝8，不妨令A(8,4)，B(8，－4)，Q(4,4)，也满足·＝0，综上所述，存在定点Q(4,4)，使得以弦AB为直径的圆恒过点Q.
