增分强化练(三十七)考点一 导数的运算与导数的几何意义1．若曲线y＝mx＋lnx在点(1，m)处的切线垂直于y轴，则实数m＝( )A．－1 B．0C．1D．2解析：f(x)的导数为f′(x)＝m＋，曲线y＝f(x)在点P(1，m)处的切线斜率为k＝m＋1＝0，可得m＝－1.故选A.答案：A2．(2019·荆州质检)函数f(x)＝xlnx在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．解析：∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1，则f(1)＝0，f′(1)＝1，故曲线f(x)在点P(1,0)处的切线l的方程为y＝x－1，令x＝0，得y＝－1，令y＝0，得x＝1，则直线l与两坐标轴的交点为(0，－1)和(1,0)，所围成三角形的面积为×1×1＝.答案：3．(2019·南宁模拟)已知函数f(x)＝＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为中心的中心对称图形，g(x)＝ex＋ax2＋bx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，则a＋b＝________.解析：由f(0)＋f(－2)＝－2，得1＋a－1－1－2＋a－1＝2a－4＝－2，解得a＝1，所以f(x)＝＋x.又f′(x)＝－＋1，所以f′(1)＝.因为g(x)＝ex＋x2＋bx，g′(x)＝ex＋2x＋b，g′(0)＝1＋b，由(1＋b)＝－1，得1＋b＝－，即a＋b＝－.答案：－考点二 导数与函数的单调性1．(2019·甘肃静宁模拟)若f(x)＝x3－ax2＋1在(1,3)上单调递减，则实数a的取值范围是( )\nA．(－∞，3]B.C.D．(0,3)解析：f(x)＝x3－ax2＋1在(1,3)上单调递减，则f′(x)＝3x2－2ax≤0在x∈(1,3)上恒成立．即a≥＝x在x∈(1,3)上恒成立，所以a≥.故选B.答案：B2．(2019·江西模拟)已知函数f(x)对于任意实数x都有f(－x)＝f(x)，且当x≥0时，f(x)＝ex－sinx，若实数a满足f(log2a)<f(1)，则a的取值范围是________．解析：由题得，当x≥0时，f′(x)＝ex－cosx，因为x≥0，所以ex≥e0＝1，∴ex－cosx≥0，所以函数在[0，＋∞)上单调递增，因为f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数，所以函数在(－∞，0)上单调递减，因为f(log2a)<f(1)，所以|log2a|＜1，所以－1＜log2a＜1，所以<a<2.答案：3．(2019·济宁模拟)已知函数f(x)＝lnx－xex＋ax(a∈R)．(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a＝1，求f(x)的最大值．解析：(1)由题意知，f′(x)＝－(ex＋xex)＋a＝－(x＋1)ex＋a≤0在[1，＋∞)上恒成立，所以a≤(x＋1)ex－在[1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝(x＋1)ex－，则g′(x)＝(x＋2)ex＋>0，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝2e－1，所以a≤2e－1.(2)当a＝1时，f(x)＝lnx－xex＋x(x>0)．则f′(x)＝－(x＋1)ex＋1＝(x＋1)，\n令m(x)＝－ex，则m′(x)＝－－ex<0，所以m(x)在(0，＋∞)上单调递减．由于m>0，m(1)<0，所以存在x0>0满足m(x0)＝0，即ex0＝.当x∈(0，x0)时，m(x)>0，f′(x)>0；当x∈(x0，＋∞)时，m(x)<0，f′(x)<0.所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．所以f(x)max＝f(x0)＝lnx0－x0ex0＋x0，因为ex0＝，所以x0＝－lnx0，所以f(x0)＝－x0－1＋x0＝－1，所以f(x)max＝－1.考点三 导数与函数的极值、最值1．(2019·吉安模拟)函数f(x)＝sin3x＋3cos2x的值域为________．解析：由题意，可得f(x)＝sin3x＋3cos2x＝sin3x－3sin2x＋3，x∈，令t＝sinx，t∈，即g(t)＝t3－3t2＋3，t∈，则g′(t)＝3t2－6t＝3t(t－2)，当－<t<0时，g′(t)>0，当0<t<1时，g′(t)＜0，即y＝g(t)在为增函数，在[0,1]为减函数，又g＝，g(0)＝3，g(1)＝1，故函数的值域为：.答案：2．(2019·北京西城区模拟)设函数f(x)＝mex－x2＋3，其中m∈R.(1)当f(x)为偶函数时，求函数h(x)＝xf(x)的极值；(2)若函数f(x)在区间[－2,4]上有两个零点，求m的取值范围．解析：(1)由函数f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即me－x－(－x)2＋3＝mex－x2＋3对于任意实数x都成立，所以m＝0.此时h(x)＝xf(x)＝－x3＋3x，则h′(x)＝－3x2＋3.\n由h′(x)＝0，解得x＝±1.当x变化时，h′(x)与h(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)h′(x)－0＋0－h(x)↘极小值↗极大值↘所以h(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1,1)上单调递增.所以h(x)有极小值h(－1)＝－2，h(x)有极大值h(1)＝2.(2)由f(x)＝mex－x2＋3＝0，得m＝.所以“f(x)在区间[－2,4]上有两个零点”等价于“直线y＝m与曲线g(x)＝，x∈[－2,4]有且只有两个公共点”．对函数g(x)求导，得g′(x)＝.由g′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表所示：x(－2，－1)－1(－1,3)3(3,4)g′(x)－0＋0－g(x)↘极小值↗极大值↘所以g(x)在(－2，－1)，(3,4)上单调递减，在(－1,3)上单调递增．又因为g(－2)＝e2，g(－1)＝－2e，g(3)＝<g(－2)，g(4)＝>g(－1)，所以当－2e<m<或m＝时，直线y＝m与曲线g(x)＝，x∈[－2,4]有且只有两个公共点．即当－2e<m<或m＝时，函数f(x)在区间[－2,4]上有两个零点．
