增分强化练(十六)一、选择题1．(2019·海口质检)等差数列{an}的首项为2，公差不等于0，且a＝a1a7，则数列的前2019项和为( )A. B.C.D.解析：设等差数列{an}的公差为d，由a1＝2，a＝a1a7，可得(2＋2d)2＝2(2＋6d)，所以d＝1，因此an＝n＋1，所以＝－，所以S2019＝＋＋＋…＋＝－＝.故选B.答案：B2．(2019·三明质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a＝2Sn＋n＋1(n∈N*)，设数列的前n项和为Tn，则Tn的取值范围为( )A.B．(0,1)C.D.解析：因为a＝2Sn＋n＋1，所以a＝2Sn－1＋n(n≥2)，因此a－a＝2(Sn－Sn－1)＋1＝2an＋1，即a＝(an＋1)2，又{an}为正项数列，所以an＋1＝an＋1，故数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n，(n∈N*)因此＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝1－，因为n∈N*，所以≤Tn<1.故选D.答案：D\n3．等差数列{an}的前n项和Sn，若(a8－1)3＋2018(a8－1)＝1，(a2011－1)3＋2018(a2011－1)＝－1，则下列结论正确的是( )A．S2018＝2018，a2011<a8B．S2018＝2018，a2011>a8C．S2018＝－2018，a2011≤a8D．S2018＝－2018，a2011≥a8解析：设f(x)＝x3＋2018x，则由f(－x)＝－f(x)知函数f(x)是奇函数．由f′(x)＝3x2＋2018＞0知函数f(x)＝x3＋2018x在R上单调递增．因为(a8－1)3＋2018(a8－1)＝1，(a2011－1)3＋2018(a2011－1)＝－1，所以f(a8－1)＝1，f(a2011－1)＝－1，得a8－1＝－(a2011－1)，即a8＋a2011＝2，且a2011＜a8，所以在等差数列{an}中，S2018＝2018·＝2018·＝2018.故选A.答案：A4．在数列{an}中，a1＝2，其前n项和为Sn.若点在直线y＝2x－1上，则a9等于( )A．1290B．1280C．1281D．1821解析：由已知可得－1＝2，又－1＝a1－1＝1，所以数列是首项为1公比为2的等比数列，所以－1＝2n－1，得Sn＝n(1＋2n－1)，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2n－2＋1，故a9＝(n＋1)2n－2＋1＝10×128＋1＝1281.答案：C二、填空题5．数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，an>0，且a－2an＋1·an＋an＋1－2an＝0(n∈N*)，则S2019＝________.解析：a－2an＋1·an＋an＋1－2an＝0，则(an＋1＋1)(an＋1－2an)＝0，因为an>0，则an＋1\n＋1≠0，故an＋1－2an＝0，故{an}为首项为1，公比为2的等比数列，an＝2n－1则S2019＝＝22019－1.答案：22019－16．(2019·滨州模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝n，Sn为其前n项和，则数列的前8项和为________．解析：由等差数列前n项和公式可得Sn＝，则Sn＋1＝，由数列的通项公式可得an＋1＝n＋1，∴＝＝2，则数列的前8项和为2＝2×＝.答案：7．(2019·合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中，点An(n∈N*)，记△A2n－1A2nA2n＋1的面积为Sn，则i＝________.解析：结合题意，得到A2n－1(22n－1,0)，A2n(22n,2n)，A2n＋1(22n＋1,0)，所以该三个点组成的三角形面积为S＝·3·22n－1·2n＝3n·22n－1，对面积求和设i＝Tn得到，Tn＝·4n＋.答案：·4n＋三、解答题8．已知正项等比数列{an}的前n项和Sn满足S2＋4S4＝S6，a1＝1.(1)求数列{an}公比q；(2)令bn＝an－15，求T＝|b1|＋|b2|＋…＋|b10|的值．\n解析：(1){an}是正项等比数列，∴q>0，若q＝1时，则Sn＝na1＝n，∴S2＝2,4S4＝4×4，S6＝6，不合题意，∴q≠1，从而Sn＝，由S2＋4S4＝S6得＋4·＝，∴(1－q2)＋4(1－q4)＝1－q6，又q≠1，∴1＋4(1＋q2)＝1＋q2＋q4，即q4－3q2－4＝0，∴(q2－4)(q2＋1)＝0，又q>0，∴q＝2.(2)由(1)知an＝2n－1，则{an}的前n项和Sn＝＝2n－1，当n≥5时，bn＝2n－1－15>0；n≤4时，bn＝2n－1－15<0，∴T＝－(b1＋b2＋b3＋b4)＋(b5＋b6＋…＋b10)＝－(a1＋a2＋a3＋a4－15×4)＋(a5＋a6＋…＋a10－15×6)＝－S4＋S10－S4＋60－90＝S10－2S4－30＝(210－1)－2(24－1)－30＝210－25－29＝1024－32－29＝963.9．(2019·湘潭模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3an，若数列的前n项和为Tn，证明：Tn<1.解析：(1)因为an＋1＝2Sn＋3，①可得an＝2Sn－1＋3.②①－②得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)，所以{an}为从第2项开始的等比数列，且公比q＝3，又a1＝3，所以a2＝9，所以数列{an}的通项公式为an＝3n(n≥2)．当n＝1时，a1＝3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝3n.(2)证明：由(1)知bn＝log3an＝log33n＝n，所以＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝1－<1得证．10．(2019·青岛模拟)已知数列{an}的各项均为正数，a1＝3，且对任意n∈N*,2an为a\n＋3和1的等比中项，数列{bn}满足bn＝a－1(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}为等比数列，并求{an}通项公式；(2)若cn＝log2bn，{cn}的前n项和为Tn，求使Tn不小于360的n的最小值．解析：(1)证明：由题意得(2an)2＝(a＋3)×1，即a＝4a－3，∴a－1＝4a－3－1＝4a－4＝4(a－1)，∵bn＝a－1，∴bn＋1＝4bn，∴数列{bn}成等比数列，首项为b1＝a－1＝8，公比为4，∴bn＝b1·4n－1＝8×22n－2＝22n＋1，∴a－1＝22n＋1，又{an}为正项数列，∴an＝.(2)由(1)得：cn＝log2bn＝log222n＋1＝2n＋1，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n＋1)＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n＝2×＋n＝n2＋2n，∴Tn＝n2＋2n≥360，即n2＋2n－360≥0⇒(n＋20)(n－18)≥0，∴n≥18或n≤－20(舍去)，所以Tn不小于360的n的最小值为18.
