增分强化练(十一)考点一 三角恒等变换及其应用1．(2019·宁德质检)cos31°cos1°＋sin149°sin1°＝( )A．－ B.C．－D.解析：cos31°cos1°＋sin149°sin1°＝cos31°cos1°＋sin31°sin1°＝cos(31°－1°)＝cos30°＝，故选B.答案：B2．(2019·蚌埠模拟)函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1的图象的对称轴可能为( )A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝－解析：f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝sin，令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋，(k∈Z)，当k＝0时，x＝，故选A.答案：A3．(1＋tan20°)·(1＋tan25°)＝________.解析：因为(1＋tan20°)·(1＋tan25°)＝1＋tan25°＋tan20°＋tan20°tan25°，又tan45°＝＝1，所以tan25°＋tan20°＝1－tan20°tan25°，所以(1＋tan20°)·(1＋tan25°)＝1＋tan25°＋tan20°＋tan20°tan25°＝2.答案：24．(2019·北京西城区模拟)函数f(x)＝sin2x＋cos2x的最小正周期T＝________；如果对于任意的x∈R都有f(x)≤a，那么实数a的取值范围是________．解析：f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin，最小正周期T＝π，依题意，知a≥f(x)恒成立，所以，a≥f(x)max＝，即a≥.答案：π [，＋∞)考点二 正弦定理与余弦定理1．(2019·湛江模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝(4c－\nb)cosA，则cos2A＝( )A．－B．－C.D.解析：∵acosB＝(4c－b)cosA.∴sinAcosB＝4sinCcosA－sinBcosA，即sinAcosB＋sinBcosA＝4cosAsinC，∴sinC＝4cosAsinC，∵0＜C＜π，sinC≠0.∴1＝4cosA，即cosA＝，则cos2A＝2cos2A－1＝－.故选A.答案：A2．(2019·蚌埠模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin2A＋c(sinC－sinA)＝2sin2B，且△ABC的面积S＝abc，则角B＝________.解析：S＝abc⇒abc＝absinC⇒c＝2sinC，代入2sin2A＋c(sinC－sinA)＝2sin2B中，得sin2A＋sin2C－sinAsinC＝sin2B，由正弦定理＝＝，可将上式化简为a2＋c2－ac＝b2，由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2ac·cosB，所以有cosB＝，又因为B∈(0，π)，所以角B＝.答案：3．(2019·晋城模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2sin2(B＋C)－3cosA＝0.(1)求角A的大小；(2)若B＝，a＝2，求边长c.解析：(1)因为A＋B＋C＝π，2sin2(B＋C)－3cosA＝0，所以2sin2A－3cosA＝0,2(1－cos2A)－3cosA＝0，所以2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0.\n因为cosA∈(－1,1)，所以cosA＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.在△ABC中，由正弦定理得＝，所以＝，解得c＝＋.考点三 解三角形与三角函数的交汇问题1．(2019·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________．解析：由已知，△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC＝15°.由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)，△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC＝30°，由正弦定理，＝，所以BC＝＝＝160sin15°＝40(－)；△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1600(8＋4)＋1600(8－4)＋2×1600(＋)×(－)×＝1600×16＋1600×4＝1600×20，解得AB＝80，\n则两目标A，B间的距离为80.答案：802．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA，sinB，sinC成等差数列，且cosC＝.(1)求的值；(2)若c＝11，求△ABC的面积．解析：(1)因为sinA，sinB，sinC成等差数列，所以2sinB＝sinA＋sinC，由正弦定理得2b＝a＋c，即c＝2b－a.又因为cosC＝，根据余弦定理有：cosC＝＝＝2－＝，所以＝.(2)因为c＝11，cosC＝，根据余弦定理有a2＋b2－2ab·＝121，由(1)知b＝a，所以a2＋a2－2a·a·＝121，解得a2＝81.由cosC＝得sinC＝，所以△ABC的面积S＝absinC＝a2sinC＝×81×＝30.
