课时作业(六十七) 离散型随机变量及其分布列一、选择题1．(2015·郑州质检)已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，则P(2＜X≤4)等于( )A.B．C．D．答案：B解析：由分布列的性质，＋＋＋＝1，则a＝5.∴P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.故选B.2．(2015·长沙模拟)一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于的是( )A．P(ξ＝3) B．P(ξ≥2)C．P(ξ≤3) D．P(ξ＝2)答案：D解析：由超几何分布知P(ξ＝2)＝.故选D.3．(2015·福州模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为( )A.B．C．D．答案：C解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝.故选C.4．设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则P等于( )A.B．7\nC．D．答案：C解析：由已知，分布列为ξ12345Pa2a3a4a5a由分布列的性质可得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝.∴P＝P＋P＋P＝＋＋＝.5．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，则E(ξ)等于( )A.B．C．D．1答案：A解析：ξ服从超几何分布P(X＝ξ)＝(x＝0,1,2)，∴P(ξ＝0)＝＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.6．(2015·枣庄模拟)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝( )A.B．C．D．答案：B7\n解析：由题意知，X～B，所以E(X)＝5×＝3，解得m＝2，所以X～B，所以D(X)＝5××＝.二、填空题7．设随机变量ξ等可能取1,2,3，…，n，若P(ξ＜4)＝0.3，则n＝________.答案：10解析：因为1,2,3，…，n每个值被取到的概率为，故P(ξ＜4)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＋＝＝0.3，所以n＝10.8．(2015·东营模拟)甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．答案：－1,0,1,2,3解析：X＝－1时，甲抢到一题但答错了．X＝0时，甲没抢到题或甲抢到2题，但答时一对一错．X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对．X＝2时，甲抢到2题均答对．X＝3时，甲抢到3题均答对．9．(2015·衡水月考)由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其表如下：X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20则丢失的两个数据依次为________．答案：0.25,0.15解析：根据分布列的性质有∴x＝2，y＝5.7\n∴丢失的两个数据依次应为0.25,0.15.10．(2015·沈阳模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述一次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为________．答案：解析：设X的分布列为X01Pq2q则“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，则q＋2q＝1，得q＝.三、解答题11．(2015·滨州模拟)某同学在寒假期间进行社会实践活动，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合环保观念的调查，生活习惯符合环保观念的称为“环保族”，否则称为“非环保族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：组数分组环保族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195p第三组[35,40)1000.5第四组[40,45)a0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55)150.3(1)补全频率分布直方图，并求n，a，p的值；(2)从[35,45)岁年龄段的“环保族”中采用分层抽样法抽取16人参加户外环保体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[35,40)岁的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望E(X)．解：(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为＝0.06，7\n频率分布直方图如下．第一组的人数＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n＝＝1000.由题意可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3＝300，所以p＝＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.(2)因为[35,40)岁年龄段的“环保族”人数与[40,45)岁年龄段的“环保族”人数的比值为100∶60＝5∶3，所以采用分层抽样抽取16人，其中[35,40)岁中有10人，[40,45)岁中有6人．由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝＝，所以随机变量X的分布列为X0123P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.12．(2014·天津)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；7\n(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.13．(2015·烟台一模)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大，我国PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即PM2.5日均在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35～75微克/立方米之间空气质量为二级：75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎图所示(十位为茎，个位为叶)．(1)从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；7\n(2)以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级．解：(1)由茎叶图知，N＝15，M＝6，n＝3，ξ的可能值为0,1,2,3，则P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.其分布列为ξ0123P(2)依题意可知，一年中平均每天空气质量能够达到一级的概率为P＝＝.设一年中空气质量达到一级的天数为η，则η～B，∴E(η)＝360×＝144，即一年中空气质量达到一级的天数为144天．7
