课时作业(七十四) 数学归纳法及其应用一、选择题1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )A．k2＋1B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2答案：D解析：当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故应选D.2．(2015·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取( )A．7B．8C．9D．10答案：B解析：1＋＋＋…＋＝＞整理得2n>128，解得n>7，所以初始值至少应取8.3．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为( )A．2k＋1 B．2(2k＋1)C. D．答案：B解析：n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)·…·[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)[2(2k＋1)]，∴应乘2(2k＋1)，故应选B.4\n4．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案：D解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法，故应选D.5．(2015·上海模拟)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )A．n＋1 B．2nC. D．n2＋n＋1答案：C解析：1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4(个)区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7(个)区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝(个)区域．故应选C.6．(2015·南宁模拟)已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，f(n)都能被m整除，则m的最大值为( )A．18B．36C．48D．54答案：B解析：由于f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值为36.当n＝1时，可知猜想成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(2k＋9)·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋9＋36(k＋5)·3k－2，因此f(k＋1)也能被36整除，故所求m的最大值为36.二、填空题7．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步验证为________．答案：当n＝1时，左边＝4≥右边，不等式成立．4\n解析：由n∈N*可知初始值为1.8．(2015·徐州模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝k(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．答案：k＋2解析：n为正奇数，假设n＝k成立后，需证明的应为n＝k＋2时成立．9．若f(n)＝12＋22＋33＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．答案：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2解析：∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.10．用数学归纳法证明·…·＞(k＞1)，则当n＝k＋1时，左端应乘上________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是________．答案：… 2k－1解析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是，最后一个是，根据等差数列通项公式可求得共有＋1＝2k－2k－1＝2k－1项．三、解答题11．(2015·绵阳一模)已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，n∈N*.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论．解：由x1＝及xn＋1＝，得x2＝，x4＝，x6＝，由x2>x4>x6猜想：数列{x2n}是递减数列．下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，已证命题成立．②假设当n＝k时命题成立，即x2k>x2k＋2，易知xk>0，4\n当n＝k＋1时，x2k＋2－x2k＋4＝－＝＝＞0，即x2(k＋1)＞x2(k＋1)＋2.也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．结合①和②知命题成立．12．(2015·长沙模拟)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2(n＝1,2,3，…)．(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明)；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得Sn＜2n成立的最小正整数n，并给出证明．解：(1)a2＝a－2a1＋2＝5，a3＝a－2×2a2＋2＝7，a4＝a－2×3a3＋2＝9.猜想an＝2n＋1(n∈N*)．(2)Sn＝＝n2＋2n(n∈N*)，使得Sn＜2n成立的最小正整数n＝6.下证：当n≥6(n∈N*)时都有2n＞n2＋2n.①当n＝6时，26＝64,62＋2×6＝48,64＞48，命题成立．②假设n＝k(k≥6，k∈N*)时，2k＞k2＋2k成立，那么当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k＞2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k＞k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立；由①②可得，对于所有的n≥6(n∈N*)都有2n＞n2＋2n成立．4
