课时提升练(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择1．(2022·福州质检)命题“∃x0∈R，使得f(x0)＝x0”的否定是( )A．∀x∈R，都有f(x)＝xB．不存在x∈R，使f(x)≠xC．∀x∈R，都有f(x)≠xD．∃x0∈R，使f(x0)≠x0【解析】 依题意，命题“∃x0∈R，使得f(x0)＝x0”的否定是“∀x∈R，使得f(x)≠x.”【答案】 C2．(2022·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A．(┑p)∨(┑q)B．p∨(┑q)C．(┑p)∧(┑q)D．p∨q【解析】 依题意得┑p：甲没有降落在指定范围，┑q：乙没有降落在指定范围，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(┑p)∨(┑q)．【答案】 A3．“对x∈R，关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )A．∃x0∈R，使得f(x0)>0成立B．∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立C．∀x∈R，f(x)>0成立D．∀x∈R，f(x)≤0成立【解析】 原命题的含义是在R中有使f(x)>0的值，故应等价于“∃x0∈R，使得f(x0)>0成立”．【答案】 A4．(2022·沈阳质检)下列命题中，是真命题的是( )A．∀x∈R，x2>0B．∀x∈R，－1<sinx<1C．∃x0∈R,2x0<0D．∃x0∈R，tanx0＝2【解析】 ∀x∈R，x2≥0，A错；∀x∈R，－1≤sinx≤1，B错；∀x∈R,2x>0，C错；D正确．【答案】 D5\n5．已知命题p：∃x0∈R，sinx0＝1；命题q：∀x∈R，x2＋1＜0，则下列结论正确的是( )A．p是假命题B．┑p是假命题C．q是真命题D．┑q是假命题【解析】 如取x0＝，则sin＝1，所以p是真命题，从而┑p是假命题．因为∀x∈R，x2＋1≥1，所以q是假命题，从而┑q是真命题．结合四个选项可知B正确．【答案】 B6．(2022·武汉调研)已知命题p：∃φ∈R，使f(x)＝sin(x＋φ)为偶函数；命题q：∀x∈R，cos2x＋4sinx－3<0，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧qB．(┑p)∨qC．p∨(┑q)D．(┑p)∧(┑q)【解析】 ∵当φ＝时，f(x)＝sin＝cosx，是偶函数，所以p是真命题，┑p是假命题；当x＝时，cos2x＋4sinx－3＝－1＋4－3＝0，故q是假命题，从而┑q为真，故p∧q，(┑p)∨q，(┑p)∧(┑q)均为假命题，p∨(┑q)为真命题．【答案】 C7．(2022·重庆高考)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A．p∧qB．┑p∧┑qC．┑p∧qD．p∧┑q【解析】 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、┑p为假命题，┑q为真命题，┑p∧┑q、┑p∧q为假命题，p∧┑q为真命题，故选D.【答案】 D8．(2022·湖北七市高三联考)下列说法错误的是( )A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”B．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥2”的充要条件D．若命题p：∃x0∈R，x＋x0＋1<0，则┑p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0【解析】 易知选项A、D是正确的；易知选项B错误；选项C，由x＝y得xy－5\n2＝0，xy≥2成立．反过来，由xy≥2得xy－2＝－2≥0，∴2≤0，∴x＝y，因此“x＝y”是“xy≥2”的充要条件，C正确．【答案】 B9．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A．∃x0∈R，f(x0)≤f(x1)B．∃x0∈R，f(x0)≥f(x1)C．∀x∈R，f(x)≤f(x1)D．∀x∈R，f(x)≥f(x1)【解析】 由f(x)＝ax2＋bx＋c，知f′(x)＝2ax＋b.依题意f′(x1)＝0，又a＞0，所以f(x)在x＝x1处取得极小值．因此，对∀x∈R，f(x)≥f(x1)，C为假命题．【答案】 C10．(2022·贵阳高三适应性监测)命题“∃x0∈R，x＋ax0＋1<0”为假命题，则实数a的取值范围是( )A．[－2,2]B．(－2,2)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】 由题意，对∀x∈R，x2＋ax＋1≥0恒成立，于是有Δ＝a2－4≤0，∴－2≤a≤2.【答案】 A11．已知命题p：∃x0∈R，mx＋1<1；q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0.若p∨(┑q)为假命题，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．(0,2]C．[0,2]D．R【解析】 对于命题p，mx＋1<1，得mx<0，若p为真命题，则m<0，若p为假命题，则m≥0；对于命题q，对∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若命题q为真命题，则m2－4≤0，即－2≤m≤2，若命题q为假命题，则m<－2或m>2.因为p∨(┑q)为假命题，则需要满足命题p为假命题且命题q为真命题，即解得0≤m≤2，故选C.【答案】 C5\n12．(2022·吉林模拟)已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A．∃x0∈R，f(x0)≤f(x1)B．∃x0∈R，f(x0)≥f(x1)C．∀x∈R，f(x)≤f(x1)D．∀x∈R，f(x)≥f(x1)【解析】 由f(x)＝ax2＋bx＋c，知f′(x)＝2ax＋b.依题意f′(x1)＝0，又a＞0，所以f(x)在x＝x1处取得极小值．因此，对∀x∈R，f(x)≥f(x1)，C为假命题．【答案】 C二、填空题13．下列命题既是全称命题，又是真命题的个数有________个．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)对于任意的无理数x，x2是无理数；(4)存在一个整数x，使得log2x＞0.【解析】 (1)既是全称命题又为真命题；(2)是特称命题；(3)对于任意的无理数x，x2是无理数，是假命题；(4)存在一个整数x，使得log2x＞0是特称命题．所以满足题意的命题有1个．【答案】 114．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．【解析】 由题意可知，ax2－ax－2≤0，对∀x∈R恒成立．(1)当a＝0时，－2≤0合题意．(2)当a≠0时，只需解得－8≤a＜0，由(1)(2)可知，实数a的取值范围是[－8,0]．【答案】 [－8,0]15．已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为________．【解析】 易知命题p为真命题，若命题q为真命题，则Δ＝m2－4＜0，即－2＜m＜2.当p∧q为真命题时，有∴－2＜m≤－1.∴p∧q为假命题时，实数m的取值范围为{m|m≤－2或m＞－1}．5\n【答案】 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)16．(2022·宿州检测)给出如下四个命题：①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x0∈R，x＋1≤1”；④在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件．其中不正确的命题的序号是________．【解析】 若“p∧q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，所以①不正确；②正确；“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x0∈R，x＋1<1”，所以③不正确；在△ABC中，若A>B，则a>b，根据正弦定理可得sinA>sinB，所以④正确．故不正确的命题有①③.【答案】 ①③5
