课时作业3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1．(2014·安徽卷)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x<0D．∃x0∈R，|x0|＋x≥0解析：全称命题的否定为特称命题，选C.答案：C2．(2014·湖北卷)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )A．∀x∉R，x2≠xB．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠xD．∃x∈R，x2＝x解析：全称命题的否定为特称命题，∴命题的否定是“∃x∈R，x2＝x”．答案：D3．(2014·重庆卷)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根则下列命题为真命题的是( )A．p∧綈qB．綈p∧qC．綈p∧綈qD．p∧q解析：由题知p真q假，∴綈q为真，∴p∧綈q为真．答案：A4．已知p，q为两个命题，则“p是真命题”是“p∨q是真命题”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：p是真命题，无论q是真是假，“p∨q”必为真命题，但“p∨q”为真命题，有可能p假q真，故为充分不必要条件．答案：A5．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )4\nA．∃x∈R，f(x)≤f(x0)B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)解析：由题知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有实数x，都有f(x)≥f(x0)．因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，选C.答案：C6．已知命题p：∀x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x∈R，使sinx＋cosx＝，则下列判断：①p且q是真命题；②p或q是真命题；③q是假命题；④非p是真命题其中正确的是( )A．①④B．②③C．③④D．②④解析：由题意知p假q真，故②④正确，选D.答案：D二、填空题7．命题“∀x∈R，x2－x≥0”的否定是________．解析：全称命题的否定为特称命题，故命题“∀x∈R，x2－x≥0”的否定是“∃x0∈R，x－x0<0”．答案：∃x0∈R，x－x0<08．若命题“∃x0∈R,2x－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．解析：因为“∃x0∈R,2x－3ax0＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2≤a≤2.答案：－2≤a≤29．已知命题p：“对于任意的实数x，存在实数m，使得4x－2x＋1＋m＝0”，且命题p是假命题，则实数m的取值范围为________．解析：设t＝2x>0，则f(t)＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t在区间(0,1]上为增函数，在区间[1，＋∞)上为减函数，则对于任意的实数x，有－4x＋2x＋1≤1，则命题p是真命题时，有m＝－4x＋2x＋1≤1.从而命题p是假命题时，实数m的取值范围为m>1.答案：m>1三、解答题10．已知命题p：存在一个实数x，使ax2＋ax＋1<0，当a∈A时，非p为真命题，求集合A.解：非p为真，即“∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0”为真．若a＝0，则1≥0成立，即a＝0时非p为真；4\n若a≠0，则非p为真⇔⇔0<a≤4.综上知，所求集合A＝{a|0≤a≤4}．11．已知两个命题r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.如果对∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．解：∵sinx＋cosx＝sin≥－，∴当r(x)是真命题时，m<－.又∵对∀x∈R，s(x)为真命题，即x2＋mx＋1>0恒成立，有Δ＝m2－4<0，∴－2<m<2.∴当r(x)为真，s(x)为假时，m<－，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2；当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－且－2<m<2，即－≤m<2.综上，实数m的取值范围是{m|m≤－2或－≤m<2}．1．(2014·辽宁卷)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p∨qB．p∧qC．(綈p)∧(綈q)D．p∨(綈q)解析：对命题p中的a与c可能为共线向量，故命题p为假命题．由a，b，c为非零向量，可知命题q为真命题．故p∨q为真命题，故选A.答案：A2．下列命题：①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；②若log2x＋logx2≥2，则x>1；③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题是真命题；④若命题p：∀x∈R，x2＋1≥1，命题q：∃x∈R，x2－x－1≤0，则命题p∧(綈q)是真命题．其中真命题为( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④4\n解析：由x2＋2x>4x－3推得x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log2x＋logx2≥2成立需要x>1，故②正确；由a>b>0得0<<，又c<0，可得>，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；④命题p是真命题，命题q是真命题，所以p∧(綈q)为假命题．所以选A.答案：A3．已知命题p：“a＝1”是“|x|＋≥2”的充要条件；命题q：∃x0∈R，x＋x0－2>0.则下列命题正确的是________．(填上所有正确命题的序号)①命题“p∧q”是真命题；②命题“(綈p)∧q”是真命题；③命题“p∧(綈q)”是真命题；④命题“(綈p)∧(綈q)”是真命题．解析：当a＝1时，|x|＋≥2恒成立，当|x|＋≥2不能推出a＝1，所以p是假命题；q：∃x0∈R，x＋x0－2>0为真命题，所以只有②正确．答案：②4．已知函数f(x)＝(1)求函数f(x)的最小值；(2)已知m∈R，命题p：关于x的不等式f(x)≥m2＋2m－2对任意m∈R恒成立；q：函数y＝(m2－1)x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．解：(1)作出函数f(x)的图象，可知函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(x)min＝f(－2)＝1.(2)对于命题p，m2＋2m－2≤1，故－3≤m≤1；对于命题q，m2－1>1，故m>或m<－.由于“p或q”为真，“p且q”为假，则①若p真q假，则解得－≤m≤1.②若p假q真，则，解得m<－3或m>.故实数m的取值范围是(－∞，－3)∪[－，1]∪(，＋∞)．4
