【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学7.2简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习一、选择题1．已知命题p:∃n∈N,2n＞1000，则綈p为( )A．∀n∈N,2n≤1000 B．∀n∈N,2n＞1000C．∃n∈N,2n≤1000D．∃n∈N,2n＜1000解析：特称命题的否定是全称命题．即p：∃x∈M，p(x)，则綈p：∀x∈M，綈p(x)．故选A.答案：A2．已知命题p：∃x∈[0，]，cos2x＋cosx－m＝0的否定为假命题，则实数m的取值范围是( )A．[－，－1]B．[－，2]C．[－1,2]D．[－，＋∞)解析：依题意，cos2x＋cosx－m＝0在x∈[0，]上恒成立，即cos2x＋cosx＝m.令f(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2(cosx＋)2－，由于x∈[0，]，所以cosx∈[0,1]，于是f(x)∈[－1,2]，因此实数m的取值范围是[－1,2]．答案：C3．下列四个命题中的真命题为( )A．∃x0∈Z,1＜4x0＜3B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0C．∀x∈R，x2－1＝0D．∀x∈R，x2＋x＋2＞0解析：对于A，由1＜4x0＜3得＜x0＜，显然不存在x0∈Z，使得1＜4x0＜3，因此A是假命题；对于B，由5x0＋1＝0得x0＝－∉Z，因此B是假命题；对于C，由x2－1＝0得x＝±1，因此C是假命题；对于D，注意到x2＋x＋2＝(x＋)2＋≥＞0，因此D是真命题．综上所述，选D.答案：D4．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为( )A．a≤－2或a＝1B．a≤－2或1≤a≤2C．a≥1D．－2≤a≤1解析：由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤1，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2或a＝1.答案：A3\n5．以下三个命题：①∃α∈R且α≠0，f(x＋α)＝－f(x)对∀x∈R成立，则f(x)为周期函数；②∀α∈R，在[α，α＋π]上函数y＝sinx都能取到最大值1；③∃x∈，使sinx＜cosx.其中正确命题的个数为( )A．0B．1C．2D．3解析：对于①，∵∃α∈R且α≠0，f(x＋α)＝－f(x)对∀x∈R都成立，∴f(x)＝－f(x＋α)＝－[－f(x＋α＋α)]＝f(x＋2α)，∴T＝2α，即f(x)为周期函数，对于②，∵y＝sinx的周期为2π，在[α，α＋π]上只是半个周期长度，∴不一定能取得最大值1.对于③，画出图象，可知在x∈时，sinx＞cosx，故只有①正确．答案：B6．已知命题p：函数y＝loga(ax＋2a)(a＞0且a≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q：函数y＝f(x＋1)的图象关于原点对称，则y＝f(x)的图象关于点(－1,0)对称，则( )A．“p且q”为真B．“p或q”为假C．p假q真D．p真q假解析：命题p为真命题，命题q中f(x)的图象关于点(1,0)对称，∴q为假命题．答案：D二、填空题7．设命题p：c2＜c和命题q：对任意的x∈R，x2＋4cx＋1＞0，若p∨q为真，p∧q为假，则实数c的取值范围是____________．解析：(1)若命题p：c2＜c正确，即0＜c＜1，则命题q：对任意的x∈R，x2＋4cx＋1＞0错误，即△＝16c2－4≥0，可得实数c的取值范围是[，1)；(2)若命题p：c2＜c错误，即c≥1或c≤0，则命题q：对任意的x∈R，x2＋4cx＋1＞0正确，即△＝16c2－4＜0，可得实数c的取值范围是(－，0]．故实数c的取值范围是(－，0]∪[，1)．答案：(－，0]∪[，1)8．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9|x|)＞0”用符号“∃”写成特称命题为__________________________．解析：有些即存在，用“∃”表示．答案：∃x∈R且x＜0，(1＋x)(1－9|x|)＞09．令p(x)：ax2＋2x＋1＞0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是__________．解析：对∀x∈R，p(x)是真命题，就是不等式ax2＋2x＋1＞0对一切x∈R恒成立．3\n(1)若a＝0，不等式化为2x＋1＞0，不能恒成立；(2)若解得a＞1；(3)若a＜0，不等式显然不能恒成立．综上所述，实数a的取值范围是a＞1.答案：a＞1三、解答题10．已知：a＞0且a≠1.设p：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内是减函数；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．解析：p真⇔0＜a＜1，p假⇔a＞1；q真⇔a＞或0＜a＜，q假⇔≤a＜1或1＜a≤；∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q中一个真一个假，即p，q有且仅有一个是真的．若p真q假，则≤a＜1，若p假q真，则a＞，综上a的取值范围是{a|≤a＜1或a＞}．11．已知p：∀x∈R,2x＞m(x2＋1)，q：∃x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．解析：2x＞m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m＜0.若p：∀x∈R,2x＞m(x2＋1)为真．则mx2－2x＋m＜0对任意的x∈R恒成立．当m＝0时，不等式可化为－2x＜0，显然不恒成立；当m≠0时，有∴m＜－1.若q：∃x0∈R，x＋2x0－m－1＝0为真，则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，∴4＋4(m＋1)≥0，∴m≥－2.又p∧q为真，故p、q均为真命题．∴－2≤m＜－1.12．设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R；命题q：不等式3x－9x＜a对一切正实数均成立．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．解析：若命题p为真，即ax2－x＋a＞0恒成立，则有∴a＞1.令y＝3x－9x＝－2＋，由x＞0得3x＞1，∴y＝3x－9x的值域为(－∞，0)．∴若命题q为真，则a≥0.由命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，得命题p、q一真一假，当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0≤a≤1.∴a的取值范围是0≤a≤1.3
