课时作业(三十) 数列的概念及简单表示法一、选择题1．数列，，，，…中，有序实数对(a，b)可以是( )A．(21，－5)B．(16，－1)C.D．答案：D解析：由数列中的项可观察规律，得5－3＝10－8＝17－(a＋b)＝(a－b)－24＝2，则解得故应选D.2．(2015·山西长治4月)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和为( )A．16B．20C．33D．120答案：C解析：a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6项和S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故应C.3．数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2015等于( )A.B．C．D．答案：B解析：∵a1＝<，∴a2＝>，∴a3＝，a4＝，a5＝，∴数列具有周期性，且周期为4，∴a2015＝a3＝，故应选C.4．(2015·北京东城一模)已知函数f(n)＝n2cosnπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝( )6\nA．0B．－100C．100D．10200答案：B解析：f(n)＝n2cosnπ＝＝(－1)n·n2，由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.故应B.5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )A.B．C.D．答案：B解析：∵S2＝22·a2，∴1＋a2＝4a2，∴a2＝.∵S3＝32·a3，∴1＋＋a3＝9a3，∴a3＝.∵S4＝42·a4，∴1＋＋＋a4＝16a4，∴a4＝＝.可见a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，由此猜想an＝.实际上，此题用a1＝1代入各选项验证最简单．故应选B.6．数列{an}的通项公式为an＝an2＋n，若满足a1<a2<a3<a4<a5，且an>an＋1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是( )A. B．6\nC.D．答案：D解析：可以把an看成是关于n的二次函数，根据其对称轴为n＝－，易知对称轴应满足<－<，解得－<a<－.故应选D.二、填空题7．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，则a16＝________.答案：解析：由题意知，a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此数列是以3为周期的周期数列，a16＝a3×5＋1＝a1＝.8．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＝(n≥3)，则a2013＝________.答案：2解析：将a1＝1，a2＝2代入an＝，得a3＝＝2，同理可得a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，故数列{an}是周期数列，周期为6，故a2013＝a335×6＋3＝a3＝2.9．已知{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.答案：解析：由已知条件，可得Sn＋1＝2n＋1.则Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，n＝1时不适合上式，故an＝6\n10．对于正项数列{an}，定义Hn＝为{an}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn＝，则数列{an}的通项公式为________．答案：an＝，n∈N*解析：由Hn＝，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝＝，①当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝，②①－②，得nan＝－＝，所以an＝.又n＝1时，由①可得a1＝，也适合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*.三、解答题11．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)∵Sn＝an，且a1＝1，∴S2＝a2，即a1＋a2＝a2，得a2＝3.由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，得a3＝6.(2)由题设知a1＝1.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理，得an＝an－1，即＝，6\n于是＝3，＝，＝，…，＝，以上n－1个式子的两端分别相乘，得＝，∴an＝，n≥2.又a1＝1适合上式，故an＝，n∈N*.12．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的增减性．解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．∴bn＝(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝＋＋…＋，∴cn＋1－cn＝＋－＝<0，∴{cn}是递减数列．13．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，an＋1－an＝6n＋2，点在y＝x3＋mx的图象上，{bn}的最小项为b3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求m的取值范围．解：(1)∵an＋1－an＝6n＋2，∴当n≥2时，an－an－1＝6n－4.∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(6n－4)＋(6n－10)＋…＋8＋2＝＋2＝3n2－3n＋2n－2＋2＝3n2－n，6\n显然a1也满足an＝3n2－n，∴an＝3n2－n.(2)∵点在y＝x3＋mx的图象上，∴bn＝(3n－1)3＋m(3n－1)．∴b1＝8＋2m，b2＝125＋5m，b3＝512＋8m，b4＝1331＋11m.∵{bn}的最小项是b3，∴∴－273≤m≤－129.∵bn＋1＝(3n＋2)3＋m(3n＋2)，bn＝(3n－1)3＋m(3n－1)，∴bn＋1－bn＝3[(3n＋2)2＋(3n－1)2＋(3n＋2)(3n－1)]＋3m＝3(27n2＋9n＋3＋m)，当n≥4时，27n2＋9n＋3＞273，∴27n2＋9n＋3＋m＞0，∴bn＋1－bn＞0，∴n≥4时，bn＋1＞bn.综上可知，－273≤m≤－129，∴m的取值范围为[－273，－129]．6
