课时作业(五十四) 抛物线一、选择题1．(2014·安徽)抛物线y＝x2的准线方程是( )A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2答案：A解析：将抛物线方程化为标准形式求解．∵y＝x2，∴x2＝4y.∴准线方程为y＝－1.2．(2015·资阳二诊)已知点P在抛物线x2＝4y上，且点P到x轴的距离与点P到此抛物线的焦点的距离之比为1∶3，则点P到x轴的距离是( )A.B．C．1D．2答案：B解析：抛物线的准线为y＝－1，设点P到x的距离为d，则d＋1＝3d，d＝.故选B.3．(2015·北京东城区质检)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )A．x2＝yB．x2＝yC．x2＝8yD．x2＝16y答案：D解析：由题意知双曲线C1的离心率为＝2，得b＝a，因此双曲线C1的渐近线方程为y＝±x＝±x，取其中一条渐近线x－y＝0，抛物线C2的焦点坐标为，该点到双曲线的渐近线的距离d＝＝＝2，解得p＝8，因此抛物线C2的方程为x2＝16y.故选D.4．(2015·云南部分名校一联)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为9π，则p＝( )7\nA．2B．4C．6D．8答案：B解析：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆面积为9π，∴圆的半径为3.又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋＝3，∴p＝4.故选B.5．(2015·孝感模拟)已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距为( )A.B．2C．D．2答案：B解析：∵抛物线y2＝4x的准线x＝－1过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点，∴a＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±bx.∵双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，∴b＝2，∴c＝＝，∴双曲线的焦距为2.6．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A，B两点，交准线于点C，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是( )A．4B．3C．4D．8答案：C解析：设点A(x1，y1)，其中y1＞0.过点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1，则有|BF|＝|BB1|.又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝＝，∠CBB1＝，即直线AB与x轴的夹角为.又|AF|＝|AK|＝x1＋＝4，因此y1＝4sin＝2，因此△AKF的面积等于|AK|·y1＝×4×2＝4，故应选C.7\n7．已知M是y＝x2上一点，F为抛物线的焦点，A在C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为( )A．2B．4C．8D．10答案：B解析：由题意可知，焦点坐标为F(0,1)，准线方程为l：y＝－1.过点M作MH⊥l于点H，由抛物线的定义，得|MF|＝|MH|，∴|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，当C，M，H，A四点共线时，|MH|＋|MA|有最小值，|MA|＝|MC|－1，于是，|MA|＋|MF|的最小值|MC|＋|MH|－1＝4－(－1)－1＝4.8．探照灯反射镜的轴截面是抛物线y2＝2px(x>0)的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的焦点坐标是( )A.B．C.D．答案：C解析：依题意，点(40,30)位于抛物线y2＝2px上，于是有302＝2p×40，p＝，焦点坐标是，故应选C.9．(2015·临沂模拟)直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为( )A．48B．56C．64D．72答案：A解析：由题不妨设A在第一象限，联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6)，B(1，－2)，而准线方程是x＝－1，所以|AP|＝10，|QB|＝2，|PQ|＝8，故S梯形APQB＝(|AP|＋|QB|)·|PQ|＝48.10．(2015·银川一中模拟)在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点是( )A．(0,1)B．(0,2)C．(2,0)D．(1,0)7\n答案：B解析：设A，B，Q(x0，－2)，则抛物线x2＝4y在点A处的切线方程为y－＝x1(x－x1)，整理得x－2x1x＋4y＝0，经过点Q(x0，－2)，所以x－2x0x1－8＝0.同理，由抛物线x2＝4y在点B处的切线也经过点Q(x0，－2)得x－2x0x2－8＝0.所以x1，x2是方程x2－2x0x－8＝0的两根，所以x1x2＝－8.又直线AB的斜率为k＝＝，方程为y－＝(x－x1)，即为y＝x－＝x＋2，恒过定点(0,2)，故选B.二、填空题11．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线x－2y＋4＝0与C交于A，B两点，则sin∠AFB＝________.答案：解析：由可得A(4,4)，B(－2,1)，又F(0,1)，设直线AF的倾斜角是α，则tanα＝kAF＝，tan∠AFB＝tan(π－α)＝－tanα＝－，所以sin∠AFB＝.12．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若＝，则p＝________.答案：2解析：过B作BE垂直于准线l于E，∵＝，7\n∴M为AB的中点，∴|BM|＝|AB|，又斜率为，∴∠BAE＝30°，∴|BE|＝|AB|，∴|BM|＝|BE|，∴M为抛物线的焦点，∴p＝2.13．(2015·威海模拟)直线l过抛物线y2＝8x的焦点且与圆x2＋y2－2y－3＝0相切，则l的方程为________．答案：x＝2或3x－4y－6＝0解析：依题意，题中的抛物线的焦点坐标是(2,0)，圆的圆心坐标是(0,1)，半径是2，注意到当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝2，此时圆心(0,1)到直线x＝2的距离等于2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，则有＝2，解得k＝.因此，所求的直线l的方程为x＝2或3x－4y－6＝0.14．(2014·湖南)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为y2＝4x，过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，由题意知直线与抛物线无交点，联立消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，所以k2>1，得k>1或k<－1.15．如图，抛物线C1：y2＝4x和圆C2：(x－1)2＋y2＝1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则·的值是________．答案：1解析：由于抛物线C1的焦点F也是圆C2的圆心(1,0)，则||＝||－1＝xA，||＝||－1＝xD，∴||||＝xAxD＝＝1，∴·＝||||＝1.三、解答题7\n16．(2015·河南洛阳高三统考)已知动圆过定点A(0,2)，且在x轴上截得的弦MN的长为4.(1)求动圆圆心C的轨迹方程；(2)过定点A(0,2)作一条直线与曲线C交于E，F两点，过E，F分别作曲线C的切线，两切线交于点P，当|PE|·|PF|最小时，求直线EF的方程．解：(1)设圆心为C(x，y)，线段MN的中点为T，则|MT|＝＝2.依题意，得|CA|2＝|CM|2＝|MT|2＋|TC|2，∴x2＋(y－2)2＝22＋y2，∴x2＝4y为动圆圆心C的轨迹方程．(2)不妨设E，F(x1<0，x2>0)．由A，E，F三点共线，得＝，∴x1x2＝－8.由x2＝4y，得y＝x2，∴y′＝x，∴PE的方程为y－＝(x－x1)，即y＝x－x.同理PF的方程为y＝x－x.解得点P的坐标为，即.则|PE|＝·＝，|PF|＝·7\n＝，∴|PE|·|PF|＝＝＝≥＝24，当且仅当x2＝－x1时，上式取等号．此时EF的斜率为0，所求直线EF的方程为y＝2.7
