课时作业17 定积分与微积分基本定理一、选择题1．若f(x)＝，则f(x)dx＝( )A．0B．1C．2D．3解析：f(x)dx＝(x3＋sinx)dx＋2dx＝0＋2x＝2.故选C.答案：C2．若a＝sinxdx，b＝cosxdx，则a与b的关系( )A．a<bB．a>bC．a＝bD．a＋b＝0解析：∵(－cosx)′＝sinx，(sinx)′＝cosx，∴a＝sinxdx＝(－cosx)＝－cos2，b＝cosxdx＝sin1.∴b－a＝sin1＋cos2＝－2sin21＋sin1＋1＝－2(sin1－)2，∵0<sin1<1，∴b－a>0，a<b.答案：A3．设函数f(x)＝(x－1)x(x＋1)，则满足f′(x)dx＝0的实数a的值有( )A．3个B．2个C．1个D．0个解析：f′(x)dx＝f(a)＝0，得a＝0或±1，又由积分性质知a>0，故a＝1，选C.答案：C4．已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于( )A．0B．4C．8D．16解析：原式＝f(x)dx＋f(x)dx，6\n∵原函数为偶函数，即在y轴两侧的图象对称．∴对应的面积相等，即8×2＝16.答案：D5．一物体受到与它运动方向相反的力：F(x)＝ex＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝1时F(x)所做的功等于( )A.＋B.－C．－＋D．－－解析：由题意知W＝－(ex＋x)dx＝－(ex＋＝－－.答案：D6．如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.B.C.D.解析：由⇒x＝或x＝－(舍)，所以阴影部分面积S＝dx＋dx答案：D二、填空题7．计算定积分(ex＋cosx)dx＝________.6\n解析：(ex＋cosx)dx＝(ex＋sinx)＝e1＋sin1－e－1－sin(－1)＝e＋2sin1－e－1.答案：e＋2sin1－e－18．若S1＝dx，S2＝cosdx，则S1，S2的大小关系为________．解析：dx＝lnx|＝ln3－ln2＝ln<2，答案：S1<S29．已知f(a)＝(2ax2－a2x)dx，则f(a)的最大值为________．解析：f(a)＝(2ax2－a2x)dx＝(ax3－|＝－a2＋a＝－(a－)2＋，∴当a＝时f(a)取得最大值.答案：三、解答题10．求下列定积分：解：(1)dx＝xdx－x2dx＋dx11．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x26\n围成的图形的面积．解：∵(1,2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k，则k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x，∴y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图：由可得交点A(2,4)．又S△AOB＝×2×4＝4，g(x)＝x2与直线x＝2，x轴围成的区域的面积S＝x2dx＝＝，∴y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积为S′＝S△AOB－S＝4－＝.1．已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且，则函数f(x)的图象的一条对称轴是( )A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝解析：∴－cos＋cosφ＝0.6\n∴cos－cosφ＝0.∴sinφ－cosφ＝0.∴sin＝0.∴φ－＝k1π(k1∈Z)．∴φ＝k1π＋(k1∈Z)．∴f(x)＝sin(k1∈Z)．由x－k1π－＝k2π＋(k1，k2∈Z)得x＝(k1＋k2)π＋π(k1，k2∈Z)，∴f(x)的对称轴方程为x＝(k1＋k2)π＋π(k1，k2∈Z)．故x＝为函数f(x)的一条对称轴．答案：A2．(2014·湖北卷)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )A．0B．1C．2D．3解析：对于①，(sinx·cosx)dx＝(sinx)dx＝－cosx＝0，则f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的正交函数；对于②，(x＋1)(x－1)dx＝(x2－1)dx＝(x3－x)＝－≠0，则f(x)，g(x)不为区间[－1,1]上的正交函数；对于③，x3dx＝x4＝0，则f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C.答案：C6\n3．(2014·福建卷)如上图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．解析：由y＝ex与y＝lnx互为反函数，其图象关于y＝x对称可得，两阴影面积相同，由y＝ex，当y＝e时，x＝1，得阴影面积S＝2(e－exdx)＝2(e－ex)＝2，正方形面积为e2，故落在阴影部分的概率为.答案：4．汽车以54km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v0＝54km/h＝15m/s.所以v(t)＝v0＋at＝15－3t.令v(t)＝0，得15－3t＝0.解得t＝5.所以开始刹车5s后，汽车停车．所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为s＝v(t)dt＝(15－3t)dt＝＝37.5(m)．故汽车走了37.5m.6
