课时作业31 数系的扩充与复数的引入一、选择题1．若复数z＝(a2＋2a－3)＋(a＋3)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a的值是( )A．－3B．－3或1C．3或－1D．1解析：若复数z为纯虚数，则需满足a2＋2a－3＝0且a＋3≠0，解得a＝1.不要忽视虚部不等于零的条件．答案：D2．(2014·重庆卷)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：i(1－2i)＝2＋i，对应点为(2,1)位于第一象限．答案：A3．(2014·山东卷)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i解析：由已知得，a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i，选D.答案：D4．(2014·湖南卷)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝( )A.＋iB.－iC．－＋iD．－－i解析：由题可得＝i⇒z＋i＝zi⇒z(1－i)＝－i⇒z＝＝－i，故选B.答案：B5．(2014·安徽卷)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·4\n＝( )A．－2B．－2iC．2D．2i解析：＋i＝＋i(1－i)＝1－i＋i＋1＝2.答案：C6．(2014·辽宁卷)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( )A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i解析：z－2i＝＝＝＝2＋i，故z＝2＋3i，从而选A.答案：A二、填空题7．(2014·四川卷)复数＝________.解析：＝＝－2i.答案：－2i8．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.解析：(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，由复数的运算法则可得解得所以a＋bi＝1＋2i.答案：1＋2i9．已知定义在复数集C上的函数满足f(x)＝，则f(f(1－i))等于________．解析：由已知得f(1－i)＝||＝||＝|－i|＝1，∴f(1)＝1＋13＝2，即f(f(1－i))＝2.答案：2三、解答题10．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)与复数2－12i相等；(2)与复数12＋16i互为共轭复数；(3)对应的点在x轴上方．解：(1)根据复数相等的充要条件得解得m＝－1.4\n(2)根据共轭复数的定义得解得m＝1.(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.11．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，求1＋z2是实数，求实数a的值．解：1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0.解得a＝－5或a＝3.∵分母a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.1．复数z＝|(－i)i|＋i5(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为( )A．2－iB．2＋iC．4－iD．4＋i解析：z＝|1＋i|＋i＝2＋i，故共轭复数为2－i.答案：A2．复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：由i4＝1⇒i2013＝i4×503＋1＝i，则z＝＝＝⇒＝－－i，所以点在第三象限．答案：C3．在复平面内，复数，(i为虚数单位)对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为( )A.B．14\nC.iD．i解析：∵＝＝－i，＝＝＋i，则A(，－)，B(，)，∴线段AB的中点C(，0)，故点C对应的复数为，选A.答案：A4．设复数z＝－3cosθ＋2isinθ.(1)当θ＝π时，求|z|的值；(2)若复数z所对应的点在直线x＋3y＝0上，求的值．解：(1)∵θ＝π，∴z＝－3cosπ＋2isinπ＝－i，∴|z|＝＝.(2)由条件得－3cosθ＋3×2sinθ＝0，∴tanθ＝，原式＝＝＝.4
