课时作业(七十五) 数系的扩充与复数的引入一、选择题1．(2014·新课标全国Ⅰ)＝( )A．1＋iB．1－i C．－1＋iD．－1－i答案：D解析：＝·(1＋i)＝(1＋i)＝－1－i，故应选D.2．(2015·济宁模拟)已知i是虚数单位，复数z＝(1－i)·(－i)，是z的共轭复数，则的虚部为( )A．4B．－4C．2D．－2答案：A解析：z＝＋i2－3i－i＝－4i，∴＝4i，虚部为4.故应选A.3．复数z满足(z－i)(2－i)＝5，则z＝( )A．－2－2iB．－2＋2iC．2－2iD．2＋2i答案：D解析：由题意知，z＝＋i＝＋i＝2＋2i.故应选D.4．下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2； p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i； p4：z的虚部为－1.其中的真命题为( )A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4答案：C解析：∵z＝＝－1－i，∴|z|＝，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z5\n的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．故应选C.5．在复平面内，复数z＝cos3＋isin3(i是虚数单位)对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B解析：因为<3<π，所以cos3<0，sin3>0，故点(cos3，sin3)在第二象限，即复数z＝cos3＋isin3对应的点位于第二象限．故应选B.6．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i答案：A解析：因为z＝＝＝＝3＋5i，故应选A.7．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )A．EB．FC．GD．H答案：D解析：依题意，得z＝3＋i，＝＝＝＝2－i，该复数对应的点的坐标是(2，－1)，由图知为点H.故应选D.8．(2013·山东)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝( )A．25B．C．5D．答案：C5\n解析：∵z＝＝＝＝＝－4－3i，∴|z|＝＝5，故应选C.9．(2015·青岛质检)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为( )A．2B．－2C．－D．答案：A解析：∵＝＝＋i，∴＝0，≠0，∴a＝2.故应选A.10．对于任意的两个数对(a，b)和(c，d)，定义运算(a，b)*(c，d)＝ad－bc，若(1，－1)*(z，zi)＝1－i，则复数z为( )A．2＋iB．2－iC．1D．－i答案：D解析：由已知条件所给出的定义，得(1，－1)*(z，zi)＝zi＋z＝1－i，解得z＝＝－i，故应选D.二、填空题11．已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________.答案：解析：＝＝2＋i，所以|z|＝.12．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.答案：35\n解析：由＝＝＝a＋bi，得a＝，b＝，解得b＝3，a＝0，所以a＋b＝3.13．已知复数z＝1－i，则＝________.答案：－2i解析：＝＝z－1－＝(－i)－＝－i－＝－2i.14．(2015·济南模拟)若复数z满足z－1＝cosθ＋isinθ，则|z|的最大值为________．答案：2解析：∵z－1＝cosθ＋isinθ，∴z＝(1＋cosθ)＋isinθ，∴|z|＝＝≤＝2.15．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________.答案：2解析：由题意知＝(1,1)，＝(－1,3)，故||＝＝2.16．已知复数2＋i与复数在复平面内对应的点分别是A与B，则∠AOB＝________.答案：24解析：点A的坐标为(3，a)，则||≥3，又＝λ，则O，P，A三点共线，||||＝72，则||＝，设OP与x轴夹角为θ，则OP在x轴上的投影长度为||cosθ＝||＝≤24，即线段OP在x轴上的投影长度的最大值为24.三、解答题17．已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a，b的值；5\n(2)若复数满足|－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．解：(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，∴解得a＝b＝3.(2)设z＝s＋ti(s，t∈R)，其对应点为Z(s，t)，由|－3－3i|＝2|z|，得(s－3)2＋(t＋3)2＝4(s2＋t2)，即(s＋1)2＋(t－1)2＝8，∴点Z的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，2为半径的圆，如图所示，当点Z在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值．∵|OO1|＝，半径r＝2，∴当z＝1－i时，|z|有最小值且|z|min＝.18．已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2，∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.由题意得x＝4，∴z＝4－2i.∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，∴解得2<a<6，∴实数a的取值范围是(2,6)．5
