【红对勾】（新课标）2016高考数学大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质量检测理时间：90分钟 分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1．复数z＝3－(i为虚数单位)的模为( )A．2B．3C.D．4解析：由z＝3－＝3－＝3＋i.所以|z|＝＝.故选C.答案：C2．已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为( )A．－2B．2C．4D．6解析：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝0，即－2＋m－4＝0，解得m＝2.答案：B3．计算2＝( )A.－iB.＋iC.－iD.＋i解析：原式＝＝＝－2＝－＝＋i.答案：D4．已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2,1)，c＝(－4，－2)，则下列结论中错误的是( )A．向量c与向量b共线B．若c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则λ1＝0，λ2＝－2C．对同一平面内任意向量d，都存在实数k1，k2，使得d＝k1b＋k2c8\nD．向量a在向量b方向上的投影为0解析：选项A正确，c＝－2b，所以向量c与向量b共线；选项B正确，由c＝λ1a＋λ2b可知，解得选项C错误，向量c与向量b共线，所以由平面向量基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量；选项D正确，a·b＝0，所以a⊥b，夹角是90°，向量a在向量b方向上的投影为|a|cos90°＝0.答案：C5．P是△ABC内的一点，＝(＋)，则△ABC的面积与△ABP的面积之比为( )A．3B．6C．2D.解析：设D是BC的中点，则＋＝2，由题意，得＝，所以D在AP上，且P是△ABC的重心．故＝＝3.答案：A6．设i是虚数单位，若复数为实数，则实数a为( )A．2 B．－2C．－ D.解析：由于＝＝，依题意知a－2＝0，则a＝2.答案：A7．平面上有四个互异点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC8\n的形状是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．无法确定解析：由(＋－2)·(－)＝0，得[(－)＋(－)]·(－)＝0，所以(＋)·(－)＝0.所以||2－||2＝0，∴||＝||，故△ABC是等腰三角形．答案：B8．已知正方形ABCD(字母顺序是A→B→C→D)的边长为1，点E是AB边上的动点(可以与A或B重合)，则·的最大值是( )A．1B.C．0D．－1解析：建立直角坐标系如图所示，设E(x,0)，x∈[0,1]，则D(0,1)，C(1,1)，B(1,0)，所以·＝(x，－1)·(－1,0)＝－x，当x＝0时取得最大值0.答案：C8\n9．如图所示，P为△AOB所在平面上一点，向量＝a，＝b，且P在线段AB的垂直平分线上，向量＝c.若|a|＝3，|b|＝2，则c·(a－b)的值为( )A．5B．3C.D.解析：设AB的中点为D，连接OD，则c＝＝＋，所以c·(a－b)＝(＋)·＝·＋·＝·＝(a＋b)·(a－b)＝(|a|2－|b|2)＝.答案：C10．已知O为平面内一点，A，B，C是平面内不共线的三点，且＝(＋)＋λ，λ∈(0，＋∞)，则P点的轨迹一定过△ABC的( )A．内心B．垂心C．重心D．外心解析：设D点为△ABC中BC边的中点，则已知等式可变为＝＋λ，＝λ，等式两边点乘向量得·＝λ＝λ(－||＋||)＝0，所以⊥.故P点的轨迹一定通过△ABC的外心．8\n答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)11．计算2014＝________.解析：原式＝2014＝2014＝(－i)2014＝i2014＝(i4)503·i2＝－1.答案：－112．在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝________.解析：＝－＝(－2，k)－(－3,1)＝(1，k－1)，因为OA⊥AB，所以·＝0，即－3＋k－1＝0，解得k＝4.答案：413．已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0≤·≤1,0≤·≤1，则z＝·的最大值为________．解析：＝(x，y)，＝(1,1)，＝(0,1)，∴·＝x＋y，·＝y，即在条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划知识，当x＝0，y＝1时，zmax＝3.答案：314．已知点A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，若·＝－1，则的值为________．解析：由题意，得＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，所以·＝cosα(cosα－3)＋sinα(sinα－3)＝－1，即sinα＋cosα＝.两边平方，得1＋2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝－.原式＝＝＝－.8\n答案：－三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．)15．(10分)已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．(1)若复数z.(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．解：(1)因为z＝bi(b∈R)，所以＝＝＝＝＋i.又因为是实数，所以＝0，所以b＝－2，即z＝－2i.(2)因为z＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，所以解得m<－2，即m∈(－∞，－2)．16．(10分)已知向量m＝(cosx，sinx)，n＝.(1)若m⊥n，求|m－n|.(2)设f(x)＝m·n，若f(α)＝，求f的值．解：(1)由m⊥n，则m·n＝0，故|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝1＋1＝2，所以|m－n|＝.(2)f(x)＝m·n＝cosx＋sinx＝sin，由f(α)＝，故cosα＋sinα＝.平方后得，sin2α＋cos2α＋2cosαsinα＝，所以sin2α＝－，f＝sin(2α＋π)＝－sin2α＝.17．(12分)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求＋＋；(2)若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.解：(1)∵＋＝2，又2＝－，8\n∴＋＋＝－＋＝0.(2)证明：显然＝(a＋b)．因为G是△ABO的重心，所以＝＝(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得∥，所以，有且只有一个实数λ，使＝λ.而＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，所以a＋b＝λ.又因为a，b不共线，所以消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.18．(12分)已知m＝(2cosx＋2sinx,1)，n＝(cosx，－y)，且m⊥n.(1)将y表示为x的函数f(x)，并求f(x)的单调增区间．(2)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C对应的边长，若f＝3，且a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．解：(1)由m⊥n得m·n＝0，所以2cos2x＋2sinxcosx－y＝0，即y＝2cos2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＋1＝2sin＋1，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即增区间为，k∈Z.(2)因为f＝3，所以2sin＋1＝3，sin＝1，8\n所以A＋＝2kπ＋，k∈Z.因为0<A<π，所以A＝.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即4＝b2＋c2－bc，所以4＝(b＋c)2－3bc，因为b＋c＝4，所以bc＝4.所以S△ABC＝bcsinA＝.8
