课时作业58 双曲线 一、选择题1．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：因为双曲线的焦距为10，所以c＝5.又因为P(2,1)在渐近线上，且渐近线方程为y＝x，所以1＝，即a＝2b.又因为c2＝a2＋b2＝5b2＝25，所以b2＝5，a2＝20.即双曲线方程为－＝1.答案：A2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )A．2B.C.D．1解析：由题知＝2，解得a＝1.答案：D3．(2014·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝17\n解析：渐近线平行于l，则＝2，又焦点为(－5,0)，则c＝5，可得c2＝a2＋b2＝5a2＝25，得a2＝5，b2＝4a2＝20，选A.答案：A4．已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.解析：不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y＝±x，即bx±ay＝0.则焦点到渐近线的距离为＝c，即b＝c，从而b2＝c2＝c2－a2，所以c2＝a2，即e2＝，所以离心率e＝.答案：A5．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. B．3C.m D．3m解析：由题意，可得双曲线C为－＝1，则双曲线的半焦距c＝.不妨取右焦点(，0)，其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.所以由点到直线的距离公式得d＝＝.故选A.答案：A6．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A．(1，)B．(1，]C．(，＋∞)D．[，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得>2.7\n∴e＝＝>＝.答案：C二、填空题7．(2014·北京卷)设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．解析：双曲线－x2＝1的渐近线为y＝±2x，故C的渐近线为y＝±2x，设C：－x2＝m，并将点(2,2)代入C的方程，解得m＝－3，故C的方程为－x2＝－3，即－＝1.答案：－＝1 y＝±2x8．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．解析：不妨设点P在双曲线的右支上且F1，F2分别为左、右焦点，因为PF1⊥PF2，所以(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2，又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2.答案：29．(2014·浙江卷)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．解析：由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为y＝x和y＝－x，分别与x－3y＋m＝0联立，解得A，B，由|PA|＝|PB|得，AB中点Q的坐标为Q，由PQ与已知直线垂直，解得2a2＝8b2＝8(c2－a2)，即＝，故e＝＝.答案：三、解答题10．双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F7\n垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||，||，||成等差数列，且与同向．(1)求双曲线的离心率．(2)设直线AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：(1)设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，由勾股定理可得(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，得d＝m，tan∠AOF＝，tan∠AOB＝tan2∠AOF＝＝，由倍角公式，得＝，解得＝，则离心率e＝.(2)不妨设过F与l1垂直的直线方程为y＝－(x－c)，与双曲线方程－＝1联立，将a＝2b，c＝b代入，化简有x2－x＋21＝0，4＝|x1－x2|＝，将数值代入，有4＝，解得b＝3，故所求的双曲线方程为－＝1.11．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．7\n解：(1)由题意知a＝2，∴一条渐近线为y＝x.即bx－2y＝0.∴＝.∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，是x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.∴∴∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．1．已知双曲线－＝1(b>0)的左，右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上．则·＝( )A．－12B．－2C．0D．4解析：由渐近线方程为y＝x知双曲线是等轴双曲线，不妨设双曲线方程是x2－y2＝2，于是F1，F2坐标分别是(－2,0)和(2,0)，且P(，1)或P(，－1)．由双曲线的对称性，不妨取P(，1)，则＝(－2－，－1)，＝(2－，－1)．所以·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝－(2＋)·(2－)＋1＝0.答案：C2．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )A．(1,2)B．(，2)C．(，2)D．(2,3)解析：由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝7\n，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.答案：A3．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，且||＝||，则该双曲线的离心率为________．解析：∵(＋)·＝0，∴OB⊥PF2，且B为PF2的中点．又O是F1F2的中点，∴OB∥PF1，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|－|PF2|＝2a，又∵||＝||，∴|PF2|＝(＋1)a，|PF1|＝(＋3)a，∴由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得(12＋6)a2＋(4＋2)a2＝4c2，∴e2＝4＋2，∴e＝＋1.答案：＋14．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.(1)求a、b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．解：(1)由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.所以C的方程为8x2－y2＝8a2.将y＝2代入上式，并求得x＝±.由题设知，2＝，解得a2＝1.所以a＝1，b＝2.(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8. ①由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<2，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1·x2＝.于是|AF1|＝＝7\n＝－(3x1＋1)，|BF1|＝＝＝3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝－.故＝－，解得k2＝，从而x1·x2＝－.由于|AF2|＝＝＝1－3x1，|BF2|＝＝＝3x2－1.故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．7
