【数学导航】2022届高考数学大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入同步练习文第一节 平面向量的概念及其线性运算1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念定义表示模既有大小，又有方向的量叫做向量(1)字母表示：a，b，c等(2)有向线段表示：，等向量的长度叫做向量的模，记作|a|或||2.几个特殊向量名 称意 义零向量长度等于0的向量，其方向是任意的，记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量3.向量的加法与减法加法减法定义求两个向量和的运算向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b法则(或几何49\n意义)三角形法则平行四边形法则三角形法则运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)a－b＝a＋(－b)4.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.5．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.1．三点共线的等价转化A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．2．向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)．3．三角形的重心已知平面内不共线的三点A，B，C，＝(＋＋)⇔G是△ABC的重心．特别地，＋＋＝0⇔P为△ABC的重心．49\n1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．( )(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )(3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )(4)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( )(5)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2.( )(6)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( )(7)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )答案： (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)√2.如图所示，向量a－b等于( )A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解析： 由题图可得a－b＝＝e1－3e2.答案： C3．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( )A．b＋c B．c－bC．b－c D．b＋c解析： 如图所示，可知＝＋(－)＝c＋(b－c)＝b＋c.答案： A49\n4．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.解析： 由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴，解得.答案： －5．已知平面上不共线的四点O、A、B、C．若－3＋2＝0，则等于________．解析： 由已知得，－＝2(－)，∴＝2，∴＝2.答案： 2平面向量的基本概念1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析： ①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时a与b可以是任意向量．答案： C2．给出下列命题：49\n①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________．解析： ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵＝，∴||＝||且∥，又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝.故“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．③正确．∵a＝b.∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.答案： ②③ 对于向量的概念应注意以下几条：(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．平面向量的线性运算1．(2022·福建卷)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于( )A． B．2C．3 D．4解析： 因为M是AC和BD的中点，由平行四边形法则，得＋＝2，＋49\n＝2，所以＋＋＋＝4.故选D．答案： D2．(2022·全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )A． B．C． D．解析： 如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝·2＝.答案： C3．(2022·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ＋μ的值为________．解析： 由题意＝－＝－＝(－)＋＝－＋，于是λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝.答案： 1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量．2．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算．向量共线定理及其应用设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.(1)求证：A，B，D三点共线．(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．解析： (1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，49\n∵＝2e1－8e2，∴＝2，又有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)由(1)可知＝e1－4e2，且＝3e1－ke2，由B，D，F三点共线得＝λ，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得，解得k＝12，∴k＝12.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？解析： ∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ、μ，只需λ＝－2μ，就能使d与c共线． 共线向量定理的应用(1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．(2)证明三点共线，若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．[提醒] 证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点．A级 基础训练1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是( )A．① B．③C．①③ D．①②解析： 根据零向量的定义可知①49\n正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．答案： A2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( )A．a B．bC．c D．0解析： 依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，选D．答案： D3．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直解析： 由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，因此＋＋＝＋(＋－)＝＋＝－，故＋＋与反向平行．答案： A4.如图所示，向量＝a，＝b，＝c，A，B，C在一条直线上，且＝－3，则( )A．c＝－a＋bB．c＝a－b49\nC．c＝－a＋2bD．c＝a＋2b解析： ∵＝＋＝＋3＝＋3(－)＝3＋－3，∴2＝－＋3，∴c＝＝－a＋b.答案： A5．△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是( )A． B．C． D．解析： 因为＋＋＝，所以＋＋＝－，所以＝－2＝2，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式可知，＝＝.答案： C6．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________．解析： 由＋＝＋得－＝－，∴＝.所以四边形ABCD为平行四边形．答案： 平行四边形7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________.解析： 由|＋|＝|－|可知，⊥，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝||＝2.答案： 249\n8．(2022·广东江门质检)设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值是________．解析： ∵＝＋＝2a－b，又A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，即∴p＝－1.答案： －19．设i、j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值．解析： ＝－＝(n＋2)i＋(1－m)j，＝－＝(5－n)i＋(－2)j.∵点A、B、C在同一条直线上，∴∥，即＝λ，∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i＋(－2)j]，∴，解得或.10．设两个非零向量a与b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．解析： (1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴，共线．又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.49\n∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.B级 能力提升1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为( )A．2 B．3C．4 D．5解析： 因为B，D，C三点共线，所以有＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3.答案： B2．已知D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确命题的个数为________．解析： ＝a，＝b，＝＋＝－a－b，∴①错．＝＋＝a＋b，＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，∴＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.∴正确命题为②③④.答案： 349\n3．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明： (1)若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，∴－＝m(－)，即＝m，∴与共线．又∵与有公共点B，∴A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则与共线，故存在实数λ，使＝λ，∴－＝λ(－)．又＝m＋n，故有m＋(n－1)＝λ－λ，即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.∵O，A，B不共线，∴，不共线，∴∴m＋n＝1.4．如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，＝，＝a，＝b.(1)用a、b表示向量，，，，；(2)求证：B，E，F三点共线．解析： (1)延长AD到G，使＝，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以＝a＋b，＝＝(a＋b)．49\n＝＝(a＋b)．＝＝b.＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)．＝－＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)可知＝，因为有公共点B，所以B，E，F三点共线．第二节 平面向量的基本定理及坐标表示1．了解平面向量基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法，减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．49\n②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1．向量共线的充要条件的两种形式(1)a∥b⇔b＝λa(a≠0，λ∈R)；(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．2．向量的坐标与点的坐标的关系向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量(x，y)向量点A(x，y)．要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A(1,2)，B(3,4)，则＝(2,2)．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC．( )(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.( )(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )答案： (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2．(2022·北京卷)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝( )A．(5,7) B．(5,9)C．(3,7) D．(3,9)解析： 由a＝(2,4)知2a＝(4,8)，所以2a－b＝(4,8)－(－1，1)＝(5,7)．故选A．答案： A3．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为( )A．(2,0) B．(－3,6)49\nC．(6,2) D．(－2,0)解析： ＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则＝(x－5，y－(－6))＝(－3,6)，所以即选A．答案： A4．若A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，则－2＝________.解析： ∵A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，∴＝(1,1)，＝(2,2)，∴－2＝(1,1)－(4,4)＝(－3，－3)．答案： (－3，－3)5．已知AM是△ABC的BC边上的中线，若＝m，＝n，则等于________．解析： ∵＋＝2，∴＝2－＝2n－m.答案： 2n－m平面向量的基本定理1．设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析： 由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2.所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得所以答案： －2．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.49\n解析： 法一：设＝a，＝b，则a＝＋＝d＋，b＝＋＝c＋.将②代入①，得a＝d＋，∴a＝d－c＝(2d－c)，③将③代入②，得b＝c＋×(2d－c)＝(2c－d)．∴＝(2d－c)，＝(2c－d)．法二：设＝a，＝b.因M，N分别为CD，BC的中点，所以＝b，＝a，因而⇒即＝(2d－c)，＝(2c－d)． 平面向量基本定理解题思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．平面向量的坐标运算1．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于( )A． B．C． D．答案： D2．已知A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，(1)求；(2)若＝m＋n，求m，n；49\n(3)若＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，使点P在一、三象限的角平分线上．解析： (1)＝(5,4)－(2,3)＝(3,1)．(2)∵＝(7,10)－(2,3)＝(5,7)，＝(7,10)－(5,4)＝(2,6)，∴m＋n＝m(5,7)＋n(2,6)＝(5m＋2n,7m＋6n)．∵＝m＋n＝(3,1)，∴，∴.(3)设P(x，y)，则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3).＋λ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3＋5λ，1＋7λ)．∵＝＋λ，∴∴若点P在一、三象限的角平分线上．则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝. 平面向量坐标运算的解题思路．(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．平面向量共线的坐标表示已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．解析： (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.(2)法一：∵A、B、C三点共线，49\n∴＝λ.即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴解得m＝.法二：＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A、B、C三点共线，∴∥，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝.1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )A． B．C．1 D．2解析： 根据题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝.答案： B2．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( )A．k＝－2 B．k＝C．k＝1 D．k＝－1解析： 若点A，B，C不能构成三角形，则向量，共线，∴＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)．∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.答案： C49\n3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，向量a＝(cosC，b－c)，向量b＝(cosA，a)且a∥b，则tanA＝________.解析： a∥b⇒(b－c)cosA－acosC＝0，即bcosA＝ccosA＋acosC，再由正弦定理得sinBcosA＝sinCcosA＋cosCsinA⇒sinBcosA＝sin(C＋A)＝sinB，即cosA＝，所以sinA＝，tanA＝＝.答案： 4．已知向量a＝(m,1)，b＝(1－n,1)(其中m，n为正数)，若a∥b，则＋的最小值是( )A．2 B．3C．3＋2 D．2＋3解析： 已知a＝(m,1)，b＝(1－n,1)(其中m，n为正数)，若a∥b，则m－(1－n)＝0，即m＋n＝1.∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝时取等号，故＋的最小值是3＋2，故选D．答案： D5．已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．解析： 法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．又＝－＝(－2,6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)．法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y.又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以P点的坐标为(3,3)．答案： (3,3)49\n 向量共线充要条件的两种形式：(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)，(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．当涉及向量或点的坐标问题一般利用(2)比较方便．A级 基础训练1．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足a＋2b＝kc，则c可以是( )A．(，－1) B．(－1，－)C．(－，－1) D．(－1，)解析： ∵a＝(，1)，b＝(0，－2)，∴a＋2b＝(，－3)＝－(－1，)，故向量c可以是(－1，)．答案： D2．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )A． B．C． D．解析： ＝(4－1，－1－3)＝(3，－4)，则||＝＝5.与同方向的单位向量为＝(3，－4)＝.答案： A3．(2022·宁夏质检)如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( )A．①② B．①③C．①④ D．③④解析： 与不共线，与不共线，而与共线，与49\n共线，由平面向量基底的概念知①③可作为该平面内其他向量的基底．答案： B4．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是( )A． B．C．－3 D．0解析： ＝－，＝－，∴＝－－＝－－.∴＝－，∴＝－.又＝r＋s，∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0.答案： D5．若α，β是一组基底，向量r＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量r在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )A．(2,0) B．(0，－2)C．(－2,0) D．(0,2)解析： 由已知a＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)，设a＝λm＋μn＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)，则由⇒∴a＝0m＋2n，∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．答案： D6．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．解析： ＝(a－1,3)，＝(－3,4)，据题意∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－.答案： －7．在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________.(用e1，e2表示)49\n解析： 如图，＝－＝＋2＝＋＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋e2.答案： －e1＋e28．已知点A(－1,2)，B(2,8)，＝，＝－，则的坐标为________．解析： 设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．因为＝，＝－，所以有和.解得和.所以点C、D的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而＝(－2，－4)．答案： (－2，－4)9．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若＝2，求点C的坐标．解析： (1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，∵A，B，C三点共线，∴∥.∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．∴解得∴点C的坐标为(5，－3)．10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：(1)|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？49\n解析： (1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，故|a＋3b|＝＝.(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)．因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－.此时ka－b＝(k－2，－1)＝.a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．B级 能力提升1．(2022·湖南卷)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值范围是( )A．[4,6] B．[－1，＋1]C．[2，2] D．[－1，＋1]解析： 设D(x，y)，则由||＝1，C(3,0)，得(x－3)2＋y2＝1.又∵＋＋＝(x－1，y＋)，∴|＋＋|＝.∴|＋＋|的几何意义是点P(1，－)与圆(x－3)2＋y2＝1上点之间的距离，由|PC|＝知，|＋＋|的最大值是1＋，最小值是－1.故选D．答案： D2．如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．解析： 由题意得，＝k(k<0)，又|k|＝<1，∴－1<k<0.又∵B，A，D三点共线，∴＝λ＋(1－λ)，m＋n＝kλ＋k(1－λ)，∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，∴m49\n＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．答案： (－1,0)3．在一平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.解析： (1)由题意得a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)．∵(a＋kc)∥(2b－a)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－.(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由题意得得或∴d＝(3，－1)或(5,3)．4．(2022·山东莱芜一模)如图，已知△OCB中，点C是以A为中点的点B的对称点，D是将分为2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.(1)用a和b表示向量、；(2)若＝λ，求实数λ的值．解析： (1)由题意知，A是BC的中点，且＝.由平行四边形法则，得＋＝2.∴＝2－＝2a－b，＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.(2)如题图，∥.又∵＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b，∴＝，∴λ＝.49\n第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例1．理解平面向量数量积的含义及其几何意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的实际问题．1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．(2)图示：(3)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.(4)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|.49\n当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|，特别地，a·a＝|a|2或者|a|＝.(4)cosθ＝.(5)a·b≤|a||b|.4．数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.5．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则数量积a·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝夹角cosθ＝向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝01．明确两个结论：(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( )(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )(5)两个向量的夹角的范围是.( )答案： (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×2．(2022·大纲全国卷)已知a、b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝( )A．－1 B．049\nC．1 D．2解析： (2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2×1×1×cos60°－12＝0，故选B．答案： B3．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为( )A． B．C． D．解析： 由a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，得b＝(4,2)－2(1,1)＝(2,0)．设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝.答案： B4．(2022·江西卷)已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.解析： |a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×＋4＝9.∴|a|＝3.答案： 35．(2022·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.解析： 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)，D(0,2)，E(1,2)，∴＝(1,2)，＝(－2,2)，∴·＝1×(－2)＋2×2＝2.答案： 2平面向量数量积的运算49\n1．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是( )A． B．C． D．解析： 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又M，C(1,1)，所以＝，＝(1－x,1)，所以·＝·(1－x,1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是.答案： C2．(2022·江西卷)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．解析： 依题意得|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5，|b|＝2，所以向量a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝＝＝.答案： 3．(2022·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．49\n解析： 由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.答案： 22 平面向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．平面向量数量积的性质(1)(2022·重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )A．－ B．0C．3 D．(2)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||等于( )A．2 B．4C．6 D．8(3)(2022·江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.解析： (1)因为a＝(k,3)，b＝(1,4)，所以2a－3b＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k－3，－6)．因为(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.故选C．(2)因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×(3－2×2××cos＋4)＝4，则||＝2.49\n(3)a2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－2×3×2×＝9，b2＝(3e1－e2)2＝9＋1－2×3×1×＝8，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8，∴cosβ＝＝＝.答案： (1)C (2)A (3)1．(2022·武汉调研)已知向量a，b，满足|a|＝3，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为( )A． B．C． D．解析： a⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，故cos〈a，b〉＝－，故所求夹角为.答案： D2．已知向量a＝(4,3)，b＝(－2,1)，如果向量a＋λb与b垂直，那么|2a－λb|的值为( )A．1 B．C．5 D．5解析： a＋λb＝(4,3)＋λ(－2,1)＝(4－2λ，3＋λ)．∵(a＋λb)⊥b，∴(4－2λ，3＋λ)·(－2,1)＝－2(4－2λ)＋(3＋λ)＝0.解得λ＝1.∴2a－λb＝(8,6)－(－2,1)＝(10,5)．∴|2a－λb|＝＝5.答案： D3．(2022·山东卷)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m＝( )49\nA．2 B．C．0 D．－解析： ∵a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，又a·b＝××cos，∴3＋m＝××cos，∴m＝.答案： B4．(2022·新课标全国Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )A．1 B．2C．3 D．5解析： 由|a＋b|＝，|a－b|＝，得a2＋2a·b＋b2＝10，a2－2a·b＋b2＝6，两式相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.答案： A5．已知向量a＝，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________．解析： 由题意得，|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以⊥，||＝||.由⊥得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，由||＝||得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0.所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以||＝||＝，故S△OAB＝××＝1.答案： 16．已知、是非零向量，且满足(－2)⊥，(－2)⊥，则△ABC的形状为( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形解析： ∵(－2)⊥⇒(－2)·＝0，即·－2·＝0.(－2)⊥⇒(－2)·＝0，即·－2·＝0.∴·＝·＝249\n·，即||＝||，而cos∠A＝＝，∴∠A＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案： C7．(2022·安徽合肥二模)设||＝2，||＝3，∠BAC＝60°，＝2，＝x＋(1－x)，x∈[0,1]，则在上的投影的取值范围是( )A．[0,1] B．[1,7]C．[7,9] D．[9,21]解析： 由＝x＋(1－x)，x∈[0,1]，可知B，D，E共线，且E点在线段BD上，如图所示．因为E点在线段BD上，所以在上的投影d的取值范围||≤d≤||，而|AF＝||·cos60°＝2×＝1，||＝2||＝2·(3－1)＝4，||＝||＋||＝4＋3＝7，所以d∈[1,7]，故选B．答案： B 平面向量数量积应用的技巧(1)求两向量的夹角．cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用．两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模．利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.②|a±b|＝＝.③若a＝(x，y)，则|a|＝.平面向量与三角函数(2022·广州摸底考试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m49\n＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－.(1)求sinA的值；(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．解析： (1)由m·n＝－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，所以cosA＝－.因为0<A<π，所以sinA＝＝＝.(2)由正弦定理，得＝，则sinB＝＝＝，因为a>b，所以A>B，则B＝，由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1，故向量在方向上的投影为||cosB＝ccosB＝1×＝.(2022·广东揭阳一中摸底)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(－cosx，cosx)，c＝(－1,0)．(1)若x＝，求向量a，c的夹角；(2)当x∈时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值．解析： (1)∵a＝(cosx，sinx)，c＝(－1,0)，∴|a|＝＝1，|c|＝＝1.当x＝时，a＝＝，a·c＝×(－1)＋×0＝－，cos〈a，c〉＝＝－.∵0≤〈a，c〉≤π，∴〈a，c〉＝.49\n(2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sinxcosx)＋1＝2sinxcosx－(2cos2x－1)＝sin2x－cos2x＝sin.∵x∈，∴2x－∈，故sin∈.∴当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝1. 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．A级 基础训练1．设向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，当向量a＋2b与2a－b平行时，a·b等于( )A．2 B．1C． D．解析： 由已知得a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)．因为向量a＋2b与2a－b平行，所以3(1＋2x)－4(2－x)＝0，解得x＝，所以b＝，a·b＝1×＋2×1＝.答案： C2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|等于( )A．2 B．2C．4 D．12解析： |a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos60°＝4＋4＋2×2×2×＝12，|a＋b|＝2.答案： B3．(2022·四川卷)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a49\n的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )A．－2 B．－1C．1 D．2解析： ＝⇒＝⇒＝，∴m＝2.答案： D4．设e1，e2，e3为单位向量，且e3＝e1＋ke2(k>0)，若以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，则k的值为( )A． B．C． D．解析： 设e1，e2的夹角为θ，则由以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，得×1×1×sinθ＝，得sinθ＝1，所以θ＝90°，所以e1·e2＝0.从而对e3＝e1＋ke2两边同时平方得1＝＋k2，解得k＝或－(舍去)．答案： A5．(2022·北京西城一模)在△ABC中，＝1，＝2，则AB边的长度为( )A．1 B．3C．5 D．9解析： 由题意画示意图，如图，＝1表示在上的投影为1，即AD的长为1，＝2表示在上的投影为2，即BD的长为2，故AB边的长度为3.故选B．答案： B49\n6．(2022·重庆卷)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.解析： ∵a＝(－2，－6)，∴|a|＝＝2，∴a·b＝2×cos60°＝10.答案： 107．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．解析： ∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，∴向量＝(－8,8)，∴||＝8.答案： 88．单位圆上三点A，B，C满足＋＋＝0，则向量，的夹角为________．解析： ∵A，B，C为单位圆上三点，∴||＝||＝||＝1，又＋＋||＝0.∴－＝＋.∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·，可得cos〈，〉＝－.∴向量，的夹角为120°.答案： 120°9．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)，a与b的夹角是45°.(1)求b；(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.解析： (1)∵a·b＝2n－2，|a|＝，|b|＝，∴cos45°＝＝，∴3n2－16n－12＝0(n＞1)．49\n∴n＝6或n＝－(舍)．∴b＝(－2,6)．(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5.又∵c与b同向，故可设c＝λb(λ＞0)．∵(c－a)·a＝0，∴λb·a－|a|2＝0.∴λ＝＝＝.∴c＝b＝(－1,3)．10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．解析： (1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.∴λ的值为.(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.∴|a|cosθ＝＝＝－＝－.B级 能力提升1．(2022·南昌二模)已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝1，c·b＝1，|c|＝，则对任意的正实数t，的最小值是( )A．2 B．2C．4 D．4解析： 2＝c2＋t2a2＋b2＋2ta·c＋c·b＋2a·b＝2＋t2＋＋2t＋49\n≥2＋2＋2＝8(t>0)．当且仅当t2＝，2t＝，即t＝1时等号成立，∴的最小值为2.答案： B2．(2022·河南济源开学检测)△ABC中，向量与的夹角为，||＝2，则||的取值范围是________．解析： ||＝|＋|＝，∴||2＋||2－||||＝4.将||看作未知数，得到一个一元二次方程||2－||||＋(||2－4)＝0，这个方程的判别式Δ＝(||)2－4·(||2－4)＝16－||2≥0，则－4≤||≤4，根据实际意义，0<||≤4.答案： (0,4]3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若·＝·＝k(k∈R)．(1)判断△ABC的形状；(2)若k＝2，求b的值．解析： (1)∵·＝cbcosA，·＝bacosC，∴bccosA＝abcosC，根据正弦定理，得sinCcosA＝sinAcosC，即sinAcosC－cosAsinC＝0，sin(A－C)＝0，∴A＝C，即a＝c.则△ABC为等腰三角形．(2)由(1)知a＝c，由余弦定理，得·＝bccosA＝bc·＝.·＝k＝2，即＝2，解得b＝2.4．已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－sin2x)，b＝(cosx,1)(x∈R)．49\n(1)求f(x)的周期和单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，·＝3，求边长b和c的值(b＞c)．解析： (1)由题意知：f(x)＝2cos2x－sin2x＝1＋cos2x－sin2x＝1＋2cos，∴f(x)的最小正周期T＝π，∵y＝cosx在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，∴令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，得kπ－≤x≤kπ＋，∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，∴cos＝－1，又＜2A＋＜，∴2A＋＝π，∴A＝.∵·＝3，即bc＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc,7＝(b＋c)2－18，b＋c＝5，又b＞c，∴b＝3，c＝2.49\n第四节 数系的扩充与复数的引入1．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示法及其几何意义．4．会进行复数代数形式的四则运算．5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z249\n)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何数的平方都不小于0.( )(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时复数z为纯虚数．( )(3)两个虚数的和还是虚数．( )(4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模．( )(5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )答案： (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×2．(2022·福建卷)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于( )A．－2－3i B．－2＋3iC．2－3i D．2＋3i解析： 因为z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i，所以＝2－3i.故选C．答案： C3．(2022·新课标全国Ⅱ)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i解析： 由题意知：z2＝－2＋i.又z1＝2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.故选A．答案： A4．(2022·江苏卷)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．解析： 由题意，得z＝(5＋2i)2＝25＋20i－4＝21＋20i，其实部为21.49\n答案： 215．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i的模的取值范围是________．解析： ∵|z|＝|a＋i|＝，且0＜a＜2，∴0＜a2＜4，∴1＜a2＋1＜5.∴1＜|z|＜.答案： (1，)复数的有关概念1．(2022·广东广州综合测试一)已知i是虚数单位，若(m＋i)2＝3－4i，则实数m的值为( )A．－2 B．±2C．± D．2解析： (m＋i)2＝(m2－1)＋2mi＝3－4i，由复数相等得解得m＝－2，故选A．答案： A2．(2022·陕西咸阳二模)已知i为虚数单位，复数z＝2i(2－i)的实部为a，虚部为b，则logab等于( )A．0 B．1C．2 D．3解析： z＝2i(2－i)＝4i－2i2＝2＋4i，则a＝2，b＝4，所以logab＝log24＝2，故选C．答案： C3．(2022·广东韶关调研)已知a是实数，是纯虚数，则a等于( )A．1 B．－1C． D．－解析： ＝＝是纯虚数，则a－1＝0，a＝1，选A．答案： A 求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R49\n)的形式，再根据题意列方程(组)求解．复数的代数运算1．(2022·安徽卷)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )A．－2 B．－2iC．2 D．2i解析： 原式＝＋i(1－i)＝－i＋1＋i＋1＝2.答案： C2．(2022·广东卷)已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝( )A．－3＋4i B．－3－4iC．3＋4i D．3－4i解析： 由已知得z＝＝＝＝3－4i，故选D．答案： D3．(2022·湖北卷)i为虚数单位，2＝( )A．－1 B．1C．－i D．i解析： 2＝＝＝－1，故选A．答案： A 复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．复数的几何意义(1)(2022·四川资阳高考模拟)在复平面内，复数z和表示的点关于虚轴对称，则复数z＝( )A．＋i B．－i49\nC．－＋i D．－－i(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．解析： (1)由＝－＋i可知该复数对应的点为，其关于虚轴的对称点为，故复数z＝＋i，故选A．(2)由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，根据＝λ＋μ得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴解得∴λ＋μ＝1.答案： (1)A (2)1如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)表示的复数，表示的复数；(2)对角线所表示的复数．解析： (1)＝－，∴所表示的复数为－3－2i.∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.(2)∵＝－，∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. 复数几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔49\n.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．A级 基础训练1．(2022·全国卷Ⅰ)设z＝＋i，则|z|＝( )A． B．C． D．2解析： ∵z＝＋i＝＋i＝＋i，∴|z|＝＝.答案： B2．(2022·天津卷)i是虚数单位，复数＝( )A．1－i B．－1＋iC．＋i D．－＋i解析： ＝＝＝1－i，故选A．答案： A3．(2022·山东菏泽一模)已知复数z＝，则下列选项中不正确的是( )A．|z|＝ B．z的实部为－1C．z的虚部为－1 D．z的共轭复数为1＋i解析： z＝＝＝＝－1－i，所以|z|＝|－1－i|＝，z的实部为－1，z的虚部为－1，z的共轭复数为－1＋i，故选D．答案： D4．(2022·“皖西七校”联合考试)复数z＝(i是虚数单位)在复平面内的对应点位于( )49\nA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析： ∵i2014＝(i2)1007＝(－1)1007＝－1，∴z＝＝－＝－＝－，∴z在复平面内的坐标为，故选C．答案： C5．(2022·湖北部分重点中学一联)若z＝sinθ－＋i是纯虚数，则tan＝( )A．－ B．－7C．－ D．－1解析： 依题意∴sinθ＝，cosθ＝－，∴tanθ＝＝－，∴tan＝＝＝－7.选B．答案： B6．已知复数z＝1－i，则＝________.解析： ＝＝＝＝－2i.答案： －2i7．(2022·福建厦门质检)若复数z满足(1＋2i)z＝|3＋4i|(i为虚数单位)，则复数z等于________．解析： ∵(1＋2i)z＝|3＋4i|＝5，∴z＝＝＝1－2i.答案： 1－2i49\n8．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.解析： ∵z＝＝＝＝＝＝－＋i，故＝－－i，∴z·＝＝＋＝.答案： 9．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)与复数2－12i相等；(2)与复数12＋16i互为共轭复数；(3)对应的点在x轴上方．解析： (1)根据复数相等的充要条件得解得m＝－1.(2)根据共轭复数的定义得解得m＝1.(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.10．计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).解析： (1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.49\n(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.B级 能力提升1．(2022·上海黄浦一模)已知z1，z2，z3∈C，下列结论正确的是( )A．若z＋z＋z＝0，则z1＝z2＝z3＝0B．若z＋z＋z>0，则z＋z>－zC．若z＋z>－z，则z＋z＋z>0D．若1＝－z1(为复数z的共轭复数)，则z1为纯虚数解析： 因02＋12＋i2＝0，故A错；如(2＋i)2＋1＋(2－i)2>0成立，但(2＋i)2＋1>－(2－i)2是错误的，故B错；因z＋z>－z，说明z＋z与－z都是实数，故z＋z＋z>0，C正确；z1＝0是满足题设条件的，但z1不是虚数，D错误．答案： C2．已知复数2＋i与复数在复平面内对应的点分别是A与B，则∠AOB＝________.解析： 由题意得，点A的坐标为(2,1)．∵＝－，∴B点的坐标为.∴＝(2,1)，＝，∴cos∠AOB＝＝，∴∠AOB＝.答案： 3．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．49\n解析： 1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.4．已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解析： 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.由题意得x＝4，∴z＝4－2i.∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，∴解得2＜a＜6.∴实数a的取值范围是(2,6)．49
