【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第8章第5节椭圆课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．[解析] 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由e＝知＝，故＝.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.∴椭圆C的方程为＋＝1.[答案] ＋＝12．(2013·四川高考改编)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．[解析] 设P(－c，y0)代入椭圆方程求得y0，从而求得kOP，由kOP＝kAB及e＝可得离心率e.由题意设P(－c，y0)，将P(－c，y0)代入＋＝1，得＋＝1，则y＝b2＝b2·＝.8\n∴y0＝或y0＝－(舍去)，∴P，∴kOP＝－.∵A(a,0)，B(0，b)，∴kAB＝＝－.又∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，∴－＝－，∴b＝c.∴e＝＝＝＝.[答案] 3．(2014·辽宁高考)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.[解析] 椭圆＋＝1中，a＝3.如图，设MN的中点为D，则|DF1|＋|DF2|＝2a＝6.∵D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，∴|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|，∴|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12.[答案] 124．(2014·南京调研)图853如图853，已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A(－a,0)作直线l交y轴于点P8\n，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且＝2，则椭圆的离心率为________．[解析] ∵△AOP为等腰三角形，∴OA＝OP，故A(－a,0)，P(0，a)，又＝2，∴Q，由Q在椭圆上得＋＝1，解得＝.∴e＝＝＝.[答案] 5．(2014·南京质检)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是________．[解析] 由x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a⇒a＝2.又e＝＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝3.因此椭圆的标准方程为＋＝1.[答案] ＋＝16．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率为__________．[解析] 在△ABF中，由余弦定理得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，∴|AF|2＝100＋64－128＝36，∴|AF|＝6，从而|AB|2＝|AF|2＋|BF|2，则AF⊥BF.∴c＝|OF|＝|AB|＝5，利用椭圆的对称性，设F′为右焦点，则|BF′|＝|AF|＝6，∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14，a＝7.因此椭圆的离心率e＝＝.8\n[答案] 7．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.[解析] 由定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，且⊥，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1||PF2|＝2b2.∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝9，因此b＝3.[答案] 38．(2013·大纲全国卷改编)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为________．[解析] 依题意，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)．过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3，∴点A必在椭圆上，∴＋＝1.①又由c＝1，得1＋b2＝a2.②由①②联立，得b2＝3，a2＝4.故所求椭圆C的方程为＋＝1.[答案] ＋＝1二、解答题9．(2014·镇江质检)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．8\n[解] (1)设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，故＝，解得a＝4.故椭圆C2的方程为＋＝1.(2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O、A、B三点共线且点A、B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝.将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝.又由＝2，得x＝4x，即＝，解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O、A、B三点共线且点A、B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝.由＝2，得x＝，y＝.将x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1.8\n故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.10．(2014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．[解] (1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0.而a＋k>0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.[B级 能力提升练]一、填空题1．(2014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．[解析] 设点B的坐标为(x0，y0)．∵x2＋＝1，∴F1(－，0)，F2(，0)．∴AF2⊥x轴，∴A(，b2)．8\n∵|AF1|＝3|F1B|，∴＝3，∴(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)．∴x0＝－，y0＝－.∴点B的坐标为.将B代入x2＋＝1，得b2＝.∴椭圆E的方程为x2＋y2＝1.[答案] x2＋y2＝12．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________________．[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①－②得＝－.∴＝－.∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝.而kAB＝＝，∴＝，∴a2＝2b2，∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝3，∴E的方程为＋＝1.[答案] ＋＝1二、解答题3．(2014·课标全国卷Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；8\n(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.[解](1)根据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.8
