【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第7章第1节空间几何体及其表面积与体积课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．给出下列命题：①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．其中正确的个数是________．[解析] 对于①，五个面围成的多面体也可以是三棱柱或三棱台，故①错．对于②，当平面与棱锥底面不平行时，截得的几何体不是棱台，故②错．对于③，仅有一组对面平行的五面体也可能是三棱柱，故③错．对于④，当各三角形面没有一个公共顶点时，也不是棱锥，故④错．[答案] 02．(2015·江苏调研)已知圆锥的轴截面为边长为2的等边三角形，则圆锥的体积等于________．[解析] V＝·π·＝.[答案] 3.(2015·南京、盐城联考)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则四面体PBCE的体积为________．图717[解析] 显然PA⊥平面BCE，底面BCE的面积为×1×2×sin120°＝，所以VPBCE＝×2×＝.6\n[答案] 4．(2015·徐州质检)若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为________．[解析] 如图所示作三棱锥的高PO，则点O为底面的中心，AO＝××＝，PO＝＝，所以V三棱锥PABC＝×××××＝.[答案] 5．(2013·江苏高考)如图718，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.图718[解析] 设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△ADE的面积等于S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥FADE的高等于h，于是三棱锥FADE的体积V1＝×S·h＝Sh＝V2，故V1∶V2＝1∶24.[答案] 1∶246．已知正方体ABCDA1B1C1D1的上底面ABCD的中心是O，顶点A1，B1，C1，D1在以O为球心的球O的球面上，若正方体的棱长为2，则球O的表面积为________．[解析] 设球的半径为R，则R2＝4＋2＝6，所以球O的表面积为24π.[答案] 24π7．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，则这个正四棱锥的侧面积是________．[解析] 根据题意可知侧面的高为h′＝＝4，从而侧面积S＝4××4×6＝48.[答案] 486\n8．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．[解析] 如图，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得HA＝·2R＝R，∴OH＝.∵截面面积为π＝π·(HM)2，∴HM＝1.在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，∴R2＝R2＋HM2＝R2＋1，∴R＝.故S球表面积＝4π×2＝.[答案] 二、解答题9.(2014·扬州中学开学检测)如图719，在四棱锥PABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD＝2AB＝2AP＝2，PE＝2DE.(1)若F为PE的中点，求证：BF∥平面ACE；(2)求三棱锥PACE的体积．图719[解] (1)证明：若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD＝2AB＝2AP＝2，PE＝2DE，故E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF∥平面ACE.(2)由于侧棱PA⊥底面ABCD，且ABCD为矩形，故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE.三棱锥PACE的体积VPACE＝VCPAE＝S△PAE·CD＝··AB＝·AB＝·PA·AD·AB＝×1×2×1＝.10．(2014·福建高考)如图7110，三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.6\n图7110(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积．[解] (1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.(2)法一：由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝.∵M是AD的中点，∴S△ABM＝S△ABD＝.由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱锥CABM的高h＝CD＝1，因此三棱锥AMBC的体积VAMBC＝VCABM＝S△ABM·h＝.法二：(2)由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，如图，过点M作MN⊥BD交BD于点N，则MN⊥平面BCD，且MN＝AB＝.又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝.∴三棱锥AMBC的体积VAMBC＝VABCD－VMBCD＝AB·S△BCD－MN·S△BCD＝.[B级 能力提升练]一、填空题1．(2014·江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V26\n.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．[解析] 设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，则＝.由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，则＝，所以＝＝.[答案] 2．(2014·苏州开学调研)如图7111，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在AA1，CC1上，且AE＝AA1，CF＝CC1，点A，C到BD的距离之比为3∶2，则三棱锥EBCD和三棱锥FABD的体积比＝________.图7111[解析] ∵点A，C到BD的距离之比为3∶2，∴＝.又直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AE＝AA1，CF＝CC1，∴＝，于是＝＝×＝.[答案] 二、解答题3．(2015·南京模拟)如图7112，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，PB⊥平面ABCD，CD⊥BD，PB＝AB＝AD＝1，点E在线段PA上，且满足PE＝2EA.图71126\n(1)求三棱锥EBAD的体积；(2)求证：PC∥平面BDE.[解] (1)过E作EF⊥AB，垂足为F.因为PB⊥平面ABCD.所以平面PAB⊥平面ABCD.又平面PAB∩平面ABCD＝AB，EF⊂平面PAB，所以EF⊥平面ABCD，即EF为三棱锥EBAD的高．由PB⊥平面ABCD得PB⊥AB，故PB∥EF.因为PE＝2EA，且PB＝1，故EF＝.因为CD⊥BD，所以在直角梯形ABCD中，∠BAD＝90°.因为AB＝AD＝1，所以S△BAD＝.从而VEBAD＝×S△BAD×EF＝.(2)证明：连结AC交BD于G，连结EG.因为在直角梯形ABCD中，∠BAD＝90°，又因为AB＝AD＝1，所以BD＝，∠ABD＝45°，从而∠CBD＝45°.因为CD⊥BD，所以BC＝2.因为AD∥BC，BC＝2，AD＝1，所以AG∶GC＝1∶2.又因为PE＝2EA，所以EG∥PC.因为PC⊄平面BDE，EG⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE.6
