第十一章 概 率第二讲 古典概型与几何概型练好题·考点自测1.[2020全国卷Ⅰ,4,5分][文]设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为( )A.15B.25C.12D.452.[2020贵阳高三摸底考试]某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为( )A.15B.14C.13D.123.[2018全国卷Ⅰ,10,5分]图11-2-1来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则( )A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3图11-2-14.[2021武汉高三质检]我国古人认为宇宙万物是由金、木、水、火、土这五种元素构成的,历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法,到战国晚期,五行相生相克的思想被正式提出.这五种物质属性的相生相克关系如图11-2-2所示,若从这五种物质中随机选取三种,则取出的三种物质中,彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为( )A.35B.12C.25D.13图11-2-25.[2020江苏,4,5分]将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 . 拓展变式1.[2021福建南平质检]由共青团中央宣传部、中共山东省委宣传部、共青团山东省委、山东广播电视台联合出品的《国学小名士》第三季于2019年11月24日在山东卫视首播.首期最精彩的节目片段是π的飞花令:出题者依次给出π所含数字3,1,4,1,5,9,2,6,5,3……答题者则需要说出含有此数字的诗句.雷海为、杨强、马博文、张益铭与\n飞花令少女贺莉然同场PK,赛况激烈,最终π的飞花令突破204位.某校某班级开联欢会,同学们也举行了一场π的飞花令,为了增加趣味性,他们的规则如下:答题者先掷两个骰子,得到的点数分别记为(x,y)(1≤x≤6,1≤y≤6,x∈N*,y∈N*),再取出π的小数点后第x位和第y位的数字,然后说出含有这两个数字的一个诗句,若能说出则可获得奖品.按照这个规则,取出的两个数字相同的概率为( )A.118B.16C.736D.292.(1)[2020湖北武汉模拟][与向量交汇]在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,0),B(1,2),D(3,2),动点P满足OP=λOA+μOB,其中λ∈[0,1],μ∈[0,2],λ+μ∈[1,2],则点P落在三角形ABD内的概率为( )A.12B.33C.32D.23(2)[2017江苏,7,5分][与函数交汇]记函数f(x)=6+x-x2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是 . 3.采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率,先由计算器给出0到9之间取整数的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标,4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为 . 4.[2020湖南衡阳三模]洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.其结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数.如图11-2-7所示,若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数,则选取的两数之和能被5整除的概率为( )A.110B.320C.15D.310图11-2-7答案第十一章 概 率第二讲 古典概型与几何概型\n1.A 根据题意作出图形,如图D11-2-1所示,在O,A,B,C,D中任取3点,有10种可能情况,分别为(OAB),(OAC),(OAD),(OBC),(OBD),(OCD),(ABC),(ABD),(ACD),(BCD),其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况,所以在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为210=15,故选A.图D11-2-12.B 随机到达教室总的时间长度为40分钟,第二节课8:40开始,9:20结束,听第二节课的时间不少于20分钟,必须在9:00前到达教室,即8:50~9:00到达即可,时间长度为10分钟,由几何概型的概率计算公式知他听第二节课的时间不少于20分钟的概率P=1040=14.故选B.3.A 解法一 设直角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积,为S1=12bc,区域Ⅱ的面积S2=12π×(c2)2+12π×(b2)2-[π×(a2)22-12bc]=18π(c2+b2-a2)+12bc=12bc,所以S1=S2,由几何概型的知识知p1=p2,故选A.解法二 不妨设△ABC为等腰直角三角形,AB=AC=2,则BC=22,所以区域Ⅰ的面积(即△ABC的面积)为S1=12×2×2=2,区域Ⅱ的面积S2=π×12-[π×(2)22-2]=2,区域Ⅲ的面积S3=π×(2)22-2=π-2.根据几何概型的概率计算公式,得p1=p2=2π+2,p3=π-2π+2,所以p1≠p3,p2≠p3,p1≠p2+p3,故选A.【试题评析】 本题以古希腊数学家研究的几何图形为背景,考查几何概型.4.B 依题意,三种物质间相生相克关系如下表,×√√√×××√×√所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率P=510=12,故选B.5.19 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,向上的点数共有36种情况,其中点数和为5的情况有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4种,则所求概率为436=19.1.D 取出π的小数点后第x位和第y位的数字,基本事件共有36个,如下表所示:1415921(1,1)(1,4)(1,1)(1,5)(1,9)(1,2)4(4,1)(4,4)(4,1)(4,5)(4,9)(4,2)1(1,1)(1,4)(1,1)(1,5)(1,9)(1,2)5(5,1)(5,4)(5,1)(5,5)(5,9)(5,2)\n9(9,1)(9,4)(9,1)(9,5)(9,9)(9,2)2(2,1)(2,4)(2,1)(2,5)(2,9)(2,2)由表中数据可知取出的两个数字相同的基本事件共有8个,所以取出的两个数字相同的概率为P=836=29,故选D.2.(1)A 由题意得OP=λOA+μOB=λ(3,0)+μ(1,2)=(3λ+μ,2μ).设P(x,y),则x=3λ+μ,y=2μ,解得λ=33(x-y2),μ=y2,因为λ∈[0,1],μ∈[0,2],λ+μ∈[1,2],所以0≤33(x-y2)≤1,0≤y2≤2,1≤33(x-y2)+y2≤2,图D11-2-2化简得0≤2x-y≤23,0≤y≤4,23≤2x+(3-1)y≤43.作出不等式组表示的平面区域,如图D11-2-2中阴影部分所示,点P位于平行四边形ABEC的内部(包含边界).记事件M为点P落在三角形ABD内,则由几何概型的概率计算公式可得所求概率为P(M)=S△ABCS四边形ABEC=12.故选A.【试题评析】 本题将平面几何与线性规划、平面向量有机结合,侧重考查了三角形面积公式及以面积为测度的几何概型的概率的求解.(2)59 由6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3,则D=[-2,3],则所求概率为3-(-2)5-(-4)=59.3.0.4 根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 6947 4698 8045 9597 7424,所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为820=0.4.4.C 由题意可知,阴数为2,4,6,8,阳数为1,3,5,7,9.\n从阴数、阳数中各选一个数,所含的基本事件有{2,1},{2,3},{2,5},{2,7},{2,9},{4,1},{4,3},{4,5},{4,7},{4,9},{6,1},{6,3},{6,5},{6,7},{6,9},{8,1},{8,3},{8,5},{8,7},{8,9},共20个.两数之和能被5整除的组合为{2,3},{4,1},{6,9},{8,7},共4种情况,所以选取的两数之和能被5整除的概率P=420=15.故选C.
