第十一章 概 率第二讲 古典概型与几何概型1.[2021长春市第一次质量监测]张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19,6:29,6:39,…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…,则张老师乘坐上甲路公交车的概率是( )A.10%B.50%C.60%D.90%2.[2021安徽省示范高中联考]在以正五边形ABCDE的顶点为顶点的三角形中,任取一个,是钝角三角形的概率( )A.12B.13C.14D.233.[2021石家庄质检]北京冬奥会将于2022年2月4日到2022年2月20日在北京和张家口举行.申奥成功后,中国邮政陆续发行多款邮票,图案包括冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”、多种冰上运动等.现从2枚会徽邮票、2枚吉祥物邮票、1枚冰上运动邮票共5枚邮票中任取3枚,则恰有1枚吉祥物邮票的概率为( )A.310B.12C.35D.7104.[2021晋南高中联考]把分别写有1,2,3,4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人,每人至少一张,且若分得的卡片超过一张,则必须是连号,那么2,3连号的概率为( )A.23B.13C.35D.145.[2021贵阳四校第一次联考][条件创新]在区间[-2,2]内随机取一个数x,则事件“y=2x,x≤0,x+1,x>0,且y∈[12,2]”发生的概率为( )A.78B.58C.38D.126.[2021广东珠海模拟][与音乐结合]现有8位同学参加音乐节演出活动,每位同学都会拉小提琴或吹长笛,已知5人会拉小提琴,5人会吹长笛,现从这8人中随机选一人上场演出,恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是( )A.14B.12C.38D.587.[2021蓉城名校联考]已知x,y满足|x|+|y|≤1,则事件“x2+y2≤12”的概率为( )A.π8B.π4C.1-π8D.1-π48.[2021黑龙江省六校阶段联考]古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论,利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点,具体方法如下:如图11-2-1,取线段AB=2,过点B作AB的垂线,并用圆规在垂线上截取BC=\n12AB=1,连接AC;以C为圆心,BC长为半径画弧,交AC于点D;以A为圆心,AD长为半径画弧,交AB于点E.则点E为线段AB的黄金分割点.若在线段AB上随机取一点F,则使得BE≤AF≤AE的概率约为(参考数据:5≈2.236)( )A.0.236B.0.382C.0.472D.0.618图11-2-19.[2021洛阳市第一次统考]已知圆O:x2+y2=4交x轴正半轴于点P,在圆O上随机取一点Q,则使|PQ|<2成立的概率为( )A.16B.13C.12D.23图11-2-210.[2020唐山市摸底考试]图11-2-2由一个半圆和一个四分之一圆构成,其中空白部分为二者的重合部分,两个阴影部分分别记为A和M.在此图内任取一点,此点取自A区域的概率记为P(A),取自M区域的概率记为P(M),则( )A.P(A)>P(M)B.P(A)<P(M)C.P(A)=P(M)D.P(A)与P(M)的大小关系与半径长度有关11.[2020河南联考]阳马是底面为长方形,有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.在阳马P-ABCD中,PC为阳马P-ABCD中最长的棱,AB=1,AD=2,PC=3,若在阳马P-ABCD的外接球内部随机取一点,则该点位于阳马内的概率为( )A.127πB.427πC.827πD.49π12.[2020大同市高三调研]中国象棋是中华文化的瑰宝,中国象棋棋盘上的“米”字形方格叫作九宫.现有一张中国象棋棋盘的示意图如图11-2-3所示.若在矩形ABCD内(其中楚河汉界宽度等于每个小格的边长)随机取一点,则该点落在九宫内的概率是 . \n图11-2-313.[2021苏州中学调研]苏州轨道交通3号线已开始运行,苏州轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验,征求意见”活动,市民可以通过苏州地铁App抢票.小陈抢到了三张体验票,准备从四位朋友小王、小张、小刘和小李中随机选择两位去参加体验活动,则小王和小李至多有一人被选中的概率为( )A.16B.13C.23D.5614.[2021江苏徐州模拟][情境创新]如图11-2-4,《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画.甲、乙两人想根据该图编排一个舞蹈,舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣时的爬、扶、捡、顶中的两个动作,每人模仿一个动作,若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作,则甲模仿“爬”或“扶”且乙模仿“扶”或“捡”的概率是( )A.12B.13C.14D.16图11-2-415.[2020衡水中学6月模拟]2020年是中国农历的鼠年,中国邮政为此发行了一枚名为“鼠兆丰年”的鼠年生肖邮票,两只大老鼠带着可爱的小老鼠侧身远望,身边是寓意丰收的花生,表情欢喜、得意,寓意2020年五谷丰登,阖家欢乐.该邮票的规格为36×36mm,为了估算图11-2-5中3只老鼠图案的面积,现向该邮票内随机投掷200粒芝麻,恰有120粒芝麻落在老鼠图案内,据此可估计老鼠图案的面积为( )A.791mm2B.778mm2C.745mm2D.700mm2图11-2-516.[2020洛阳市第一次联考]在[-6,9]内任取一个实数m,设f(x)=-x2+mx+m,则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率为( )A.215B.715C.35D.1115\n17.[2020武汉市部分学校质量监测]圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数,它既常用又神秘,古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏:请足够多的人各自随意写下两个小于1的正数,然后请他们各自检查一下,所得的两数与1是否能作为一个锐角三角形的三边长,最后把结论告诉你,你只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n个人说“能”,而有m个人说“不能”,那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为( )A.mm+nB.nm+nC.4mm+nD.4nm+n18.[2020成都市高三摸底测试]为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某城区对辖区内A,B,C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估,考评成绩达到80分及以上的单位被称为“星级”环保单位,未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位.现通过分层抽样的方法抽取了这三类行业中的20个单位,其考评分数如下.A类行业:85,82,77,78,83,87.B类行业:76,67,80,85,79,81.C类行业:87,89,76,86,75,84,90,82.(1)试估算这三类行业中每类行业的单位个数;(2)若在抽出的A类行业的这6个单位中,随机选取3个单位进行交流发言,求选出的3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位的概率.19.[2021江西省重点中学联考][与集合、函数综合]对数的发明是数学史上的重大事件,它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知集合M={1,3},N={1,3,5,7,9},若从集合M,N中各任取一个数x,y,则log3(xy)为整数的概率为( )A.15 B.25 C.35 D.4520.[2020河北张家口5月模拟][角度创新]定义一个运算:对于一个正整数n,如果它是奇数,则将它乘3再加1;如果它是偶数,则将它除以2.如此循环最终都能够得到1.如:取n=6,根据上述过程,得出6,3,10,5,16,8,4,2,1,共9个数.若n=5,从根据上述过程得出的整数中,随机选取两个不同的数,则这两个数都是偶数的概率为( )A.37B.715C.25D.35答案第十一章 概 率第二讲 古典概型与几何概型\n1.D 张老师在早晨6:00到6:10之间到达车站是等可能的,故张老师在早晨6:00到6:09之间到达车站乘坐上甲路公交车的概率为910=90%,故选D.2.A 在正五边形ABCDE的五个顶点中任取三个顶点可以构成的三角形有△ABC,△ABD,△ABE,△ACD,△ACE,△ADE,△BCD,△BCE,△BDE,△CDE,共10个三角形,其中△ABC,△BCD,△CDE,△ADE,△ABE这5个三角形是钝角三角形,所以在以正五边形ABCDE的顶点为顶点的三角形中,任取一个,是钝角三角形的概率P=510=12,故选A.【信息提取】 本题的本质是求在正五边形ABCDE的五个顶点中任取三个顶点共构成多少个三角形及构成的三角形中有多少个钝角三角形.3.C (枚举法) 记5枚邮票中吉祥物邮票分别为x,y,其余三枚分别为a,b,c,则从5枚邮票中任取3枚的基本事件有abc,abx,aby,bcx,bcy,acx,acy,axy,bxy,cxy,共10个,3枚中恰有1枚吉祥物邮票的基本事件有abx,aby,bcx,bcy,acx,acy,共6个,所以恰有1枚吉祥物邮票的概率P=610=35.故选C.4.B 由题意知,四张卡片中有两张卡片要连号,所以分给甲、乙、丙三人共有18种分法,分别是(12,3,4),(12,4,3),(3,12,4),(4,12,3),(3,4,12),(4,3,12),(1,23,4),(4,23,1),(1,4,23),(4,1,23),(23,1,4),(23,4,1),(1,2,34),(2,1,34),(1,34,2),(2,34,1),(34,1,2),(34,2,1).其中2,3连号的有6种,它们是(1,23,4),(4,23,1),(1,4,23),(4,1,23),(23,1,4),(23,4,1),所以2,3连号的概率P=618=13.故选B.5.D 设事件M为“y=2x,x≤0,x+1,x>0,且y∈[12,2]”.易知该分段函数是一个增函数,则x≤0,12≤2x≤2或x>0,12≤x+1≤2,解得-1≤x≤1,所以该事件发生的概率P(M)=1-(-1)2-(-2)=12.故选D.6.A 从8人中随机选一人上场演出所包含的基本事件数为8,由题易知,两种乐器都会演奏的同学有2人,所以恰好选中两种乐器都会演奏的同学所包含的基本事件数为2,因此所求概率为P=28=14,故选A.7.B 根据不等式|x|+|y|≤1可得x+y≤1,x-y≤1,-x+y≤1,-x-y≤1,作出其表示的平面区域可以得到一个边长为2的正方形及其内部,如图D11-2-3,x2+y2≤12表示圆心为(0,0),半径为22的圆的内部及边界,所以事件“x2+y2≤12”的概率P=π×(22)22×2=π4.图D11-2-38.A 由勾股定理可得AC=5,由题图可知BC=CD=1,AD=AE=5-1≈1.236,BE≈2-1.236=0.764,则0.764≤AF≤1.236,由几何概型的概率计算公式可知,使得BE≤AF≤AE的概率约为1.236-0.7642=0.236,故选A.\n9.B 由题意,P(2,0).如图D11-2-4,设Q(x,y),由|PQ|<2,得(x-2)2+y2<4,设圆x2+y2=4与圆(x-2)2+y2=4在第一象限的交点为M,在第四象限的交点为N,连接OM,MP,ON,NP,由x2+y2=4(x-2)2+y2=4,解得M(1,3),N(1,-3),所以|PM|=|PN|=2,则△POM,△PON均是等边三角形,所以∠MON=120°,点Q在劣弧MN上(不包括M,N两点),由几何概型的概率计算公式可得所求概率P=120360=13.图D11-2-410.C 不妨设四分之一圆的半径为1,则半圆的半径为22.记A区域的面积为S1,M区域的面积为S2,则S2=12π×(22)2-(14π×12-S1)=S1,所以P(A)=P(M),故选C.11.C 根据题意,可知PC即为阳马P-ABCD的外接球的直径,故外接球的体积V球=43π×(32)3=9π2.由题意知,PA⊥平面ABCD,则PC=PA2+AB2+AD2,所以3=PA2+12+22,所以PA=2,则阳马P-ABCD的体积V阳马P-ABCD=13×1×2×2=43,所以所求概率P=439π2=827π.故选C.12.19 设每个小正方形的边长为1,则矩形ABCD的面积为72,两个九宫的面积和为8,所以若在矩形ABCD内随机取一点,则该点落在九宫内的概率P=872=19.13.D 解法一(间接法) 从小王、小张、小刘和小李中随机选择两位的基本事件总数为6,小王和小李均被选中的基本事件数为1,故小王和小李至多有一人被选中的概率为P=1-16=56.故选D.解法二(直接法) 从小王、小张、小刘和小李中随机选择两位的基本事件总数为6,小王和小李至多有一人被选中分为两类:第一类,小王、小李均没被选中,其对应的基本事件数为1;第二类,小王、小李恰有一人被选中,其对应的基本事件数为4.故小王和小李至多有一人被选中的概率为P=1+46=56.故选D.14.C 甲、乙两人模仿图中小孩扑枣时的爬、扶、捡、顶中的两个动作,共有12种方法.其中甲模仿“爬”或“扶”且乙模仿“扶”或“捡”分下列两类,第一类:甲模仿“爬”,乙模仿“扶”或“捡”,共有2种方法.第二类:甲模仿“扶”,乙模仿“捡”,共有1种方法.因此所求概率P=2+112=14.故选C.\n15.B 设老鼠图案的面积为S,根据题意得S36×36=120200,即S=120200×36×36≈778(mm2),故选B.16.D 记“函数f(x)的图象与x轴有公共点”为事件A,当函数f(x)的图象与x轴有公共点时,对于方程-x2+mx+m=0,有Δ=m2+4m≥0,解得m≤-4或m≥0,又m∈[-6,9],所以-6≤m≤-4或0≤m≤9.故P(A)=2+915=1115,故选D.17.C 因为总人数是m+n,所以写出的(m+n)组数可以看作是(m+n)个点的坐标,满足与1不能作为一个锐角三角形的三边长的是指两个数构成的点的坐标(x,y)满足x2+y2≤1,且x>0,y>0,如图D11-2-5中阴影部分所示,由几何概型的概率计算公式,得14π×121×1=mm+n,解得π=4mm+n,选C.图D11-2-518.(1)由题意,抽取的三类行业的单位个数之比为3∶3∶4.由分层抽样的定义,有A类行业单位的个数为310×200=60;B类行业单位的个数为310×200=60;C类行业单位的个数为410×200=80.∴A,B,C三类行业的单位个数分别为60,60,80.(2)记“选出的这3个单位中既有‘星级’环保单位,又有‘非星级’环保单位”为事件M.在A类行业的6个单位中随机选取3个单位,这3个单位的考评分数的情形有:{85,82,77},{85,82,78},{85,82,83},{85,82,87},{85,77,78},{85,77,83},{85,77,87},{85,78,83},{85,78,87},{85,83,87},{82,77,78},{82,77,83},{82,77,87},{82,78,83},{82,78,87},{82,83,87},{77,78,83},{77,78,87},{77,83,87},{78,83,87}.共20种.这3个单位都是“星级”环保单位的情形有:{85,82,83},{85,82,87},{85,83,87},{82,83,87}.共4种.这3个单位都是“非星级”环保单位的情形有0种.∴这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共有4种.∴P(M)=1-420=45.\n19.C 从集合M,N中各任取一个数x,y,用(x,y)表示抽取结果,则有(1,1),(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,1),(3,3),(3,5),(3,7),(3,9),共10种等可能的结果,其中,使log3(xy)为整数的有(1,1),(1,3),(1,9),(3,1),(3,3),(3,9),共6种等可能的结果,所以使log3(xy)为整数的概率P=610=35,故选C.20.C 根据所给定义可知当n=5时,得出的数为5,16,8,4,2,1.从中随机选取两个不同的数,基本事件有:{5,16},{5,8},{5,4},{5,2},{5,1},{16,8},{16,4},{16,2},{16,1},{8,4},{8,2},{8,1},{4,2},{4,1},{2,1}.共15个.而取出的这两个数都是偶数的基本事件有:{16,8},{16,4},{16,2},{8,4},{8,2},{4,2}.共6个.所以随机选取两个不同的数,则这两个数都是偶数的概率为P=615=25.故选C.
