2013年江苏高考数学模拟试卷（四）第1卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设，且为正实数，则的值为.2．抛物线上的一点到其焦点的距离为3，则.3．函数是奇函数，则实数.4．已知全集，集合，，则中最大的元素是.5．若向量，满足，，且，则与的夹角为.I←2S←0WhileI＜mS←S+II←I+3EndWhilePrintSEnd6．下面求的值的伪代码中，正整数的最大值为.7．设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为，则的值为．8．若0＜x＜，则函数y＝的最大值为．9．在棱长为2的正方体中，点为底面的中心，在正方（第6题图）体内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为.10．在中，两中线与相互垂直，则的最大值为.11．某同学为研究函数的性质，构造了如右图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，（第11题图）设，则.请你参考这些信息，推知函数的零点的个数是.12．在平面直角坐标系xOy中，直线l：x－y＋3＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点．若＋2＝，且点C也在圆O上，则圆O的方程为.9\n13．设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等，则a1＝.14．对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数．若是错误！不能通过编辑域代码创建对象。倍值函数，则实数的取值范围是.二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知锐角中的三个内角分别为．⑴设，求证是等腰三角形；⑵设向量,，且∥,若，求的值．（第16题）16.（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面，点是的中点．⑴求证：∥平面；⑵求证：平面平面．9\n17.（本小题满分14分如图一块长方形区域ABCD，AD＝2（），AB＝1（）．在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE＝α，探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S．（1）当0≤α＜时，写出S关于α的函数表达式；GaFEDCBAO（第17题）（2）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且∠AOG＝，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．9\n18．(本小题满分16分)已知椭圆和圆，A，B，F分别为椭圆C1左顶点、下顶点和右焦点．⑴点P是曲线C2上位于第二象限的一点，若△APF的面积为，求证：AP⊥OP；⑵点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，证明直线MN恒过定点．9\n19.（本小题满分16分）对于函数y＝f(x)，若存在开区间D，同时满足：①存在t∈D，当x＜t时，函数f(x)单调递减，当x＞t时，函数f(x)单调递增；②对任意x＞0，只要t－x，t＋x∈D，都有f(t－x)＞f(t＋x)，则称y＝f(x)为D内的“勾函数”．（1）证明：函数y＝为(0，＋∞)内的“勾函数”；（2）若D内的“勾函数”y＝g(x)的导函数为y＝g¢(x)，y＝g(x)在D内有两个零点x1，x2，求证：g¢()＞0；（3）对于给定常数l，是否存在m，使函数h(x)＝lx3－l2x2－2l3x＋1在(m，＋∞)内为“勾函数”？若存在，试求出m的取值范围，若不存在，说明理由．9\n20．（本小题满分16分）已知数列中，，，数列的前n项和为，且满足．⑴求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；⑵数列中存在若干项，按从小到大的的顺序排列组成一个以S1首项，3为公比的等比数列．①求这个等比数列的项数与n的关系式；②记，求证：．9\n第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．（第21-A题）ABPFOEDC·A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．B．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵，向量，求向量，使得．9\nC．（选修４－４：坐标系与参数方程）椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率为，点是椭圆上的一个动点，若的最大值为，求椭圆的标准方程．D．（选修４－５：不等式选讲）已知x，y，z均为正数．求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（1）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；（2）求比赛局数X的分布列和数学期望E(X)．9\n23．已知fn(x)＝(1＋2)n，n∈N*.(1)若g(x)＝f4(x)＋f5(x)＋f6(x)，求g(x)中含x2项的系数；(2)若pn是fn(x)展开式中所有无理项的二项式系数和，数列{an}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：．9
