1-1集 合基础巩固强化1.全集U＝{1,2,3,4}，集合M＝{1,2}，N＝{2,4}，则下面结论错误的是( )A．M∩N＝{2} B．∁UM＝{3,4}C．M∪N＝{1,2,4}D．M∩∁UN＝{1,2,3}[答案] D[解析] ∵∁UN＝{1,3}，∴M∩∁UN＝{1}，故D错，由交、并、补运算的定义知A、B、C均正确．2．(2013·北大附中河南分校高三年级第四次月考)已知集合P＝{正奇数}和集合M＝{x|x＝a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是( )A．加法B．除法C．乘法D．减法[答案] C[解析] 因为M⊆P，所以只有奇数乘以奇数还是奇数，所以集合M中的运算⊕为通常的乘法运算，选C.3．(文)设集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x>1}，则A∩B为( )A．[0,3]B．(2,3]C．[3，＋∞)D．[1,3][答案] B[解析] 由3x－x2≥0得，0≤x≤3，∴A＝[0,3]，∵x>1，∴y＝2x>2，∴B＝(2，＋∞)，∴A∩B＝(2,3]．(理)(2011·安徽省“江南十校”联考)已知集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q等于( )A．{3,0}B．{3,0,1}C．{3,0,2}D．{3,0,1,2}[答案] B[解析] 根据题意P∩Q＝{0}，所以log2a＝0，解得a＝1从而b＝0，可得P∪Q＝{3,0,1}，故选B.4．(文)(2011·福建龙岩质检)已知集合M＝{x|≥0}，集合N＝{x|x2＋x－2<0}，则M∩N＝( )A．{x|x≥－1}B．{x|x<1}C．{x|－1<x<1}D．{x|－1≤x<1}7\n[答案] D[解析] ∵M＝{x|x≥－1}，N＝{x|－2<x<1}，∴M∩N＝{x|－1≤x<1}，∴选D.(理)设集合A＝{y|y＝}，B＝{y|y＝2x，x<1}，则A∩B为( )A．(0，]B．(2,3]C．[3，＋∞)D．[1,3][答案] A[解析] ∵3x－x2＝－(x－)2＋≤，且3x－x2≥0，∴0≤y≤，即A＝[0，]，∵x<1，∴y＝2x<2，∴B＝(0,2)，∴A∩B＝(0，]．5．(文)(2012·辽宁理)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}．，则(∁UA)∩(∁UB)为( )A．{5,8}B．{7,9}C．{0,1,3}D．{2,4,6}[答案] B[解析] 本题考查集合的交集、补集的有关运算，根据题意得，∁UA＝{2,4,6,7,9}，∁UB＝{0,1,3,7,9}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{7,9}．[点评] 注意(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，利用此公式也可较方便的求出．(理)(2011·北京理，1)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的取值范围是( )A．(－∞，－1]B．[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[答案] C[解析] P＝{x|－1≤x≤1}，∵P∪M＝P，∴M⊆P，即a∈{x|－1≤x≤1}，∴－1≤a≤1，故选C.6．(2012·浙江)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝( )A．(1,4)B．(3,4)C．(1,3)D．(1,2)∪(3,4)[答案] B[解析] 本题考查了集合的运算．7\n∵x2－2x－3≤0，∴－1≤x≤3，∴∁RB＝{x|x<－1或x>3}．∴A∩(∁RB)＝{x|3<x<4}．7．(2011·江苏省苏北四市高三调研)已知集合A＝(－∞，0]，B＝{1,3，a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________．[答案] a≤0[解析] ∵A＝(－∞，0]，B＝{1,3，a}，A∩B≠∅，∴a≤0.8．(文)已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则集合M∩N＝________.[答案] {(3，－1)}[解析] 由于M∩N中元素既属于M又属于N，故其满足解之得x＝3，y＝－1.(理)(2011·南京月考)已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.[答案] {(0,1)，(－1,2)}[解析] A、B都表示点集，A∩B即是由集合A中落在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，将A中点的坐标代入直线方程检验知，A∩B＝{(0,1)，(－1,2)}．9．若A＝{x|22x－1≤}，B＝{x|logx≥}，实数集R为全集，则(∁RA)∩B＝________.[答案] {x|0<x≤}[解析] 由22x－1≤得，x≤－，由logx≥得，0<x≤，∴(∁RA)∩B＝{x|x>－}∩{x|0<x≤}＝{x|0<x≤}．10．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．[解析] 集合A是方程ax2－3x＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．7\n(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解，得∴a>，即实数a的取值范围是(，＋∞)．(2)当a＝0时，方程只有一解，此时A中只有一个元素；当a≠0时，应有Δ＝0，∴a＝，此时方程有两个相等的实数根，A中只有一个元素，∴当a＝0或a＝时，A中只有一个元素，分别是和.(3)A中至多有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a＝0或a≥，即a的取值范围是{a|a＝0或a≥}.能力拓展提升11.若集合M＝{0,1,2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x、y∈M}，则N中元素的个数为( )A．9 B．6 C．4 D．2[答案] C[解析] 按x、y∈M逐个验证得出N，∴N＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,1)}．12．已知A、B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝( )A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}[答案] D[解析] 由题意知，A中有3和9，若A中有7或5，则∁UB中无7和5，即B中有7或5，则与A∩B＝{3}矛盾，故选D.13．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．[答案] 2[解析] ∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16∉A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2，又－2∉A∪B，∴a＝2.14．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lgx<1}，若A∩(∁UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.[答案] {2,4,6,8}7\n[解析] A∪B＝{x∈N*|lgx<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．15．(2011·汕头模拟)已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，(1)当a＝3时，求A∩B，A∪(∁UB)；(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．[解析] (1)当a＝3时，A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}＝{x|x≤1或x≥4}．A∩B＝{x|－1≤x≤1或4≤x≤5}，A∪(∁UB)＝{x|－1≤x≤5}．(2)当a<0时，A＝∅，显然A∩B＝∅，当a≥0时，A≠∅，A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}＝{x|x≤1或x≥4}．由A∩B＝∅，得解得a<1.∴0≤a<1.故实数a的取值范围是(－∞，1)．16．设集合A＝{(x，y)|y＝2x－1，x∈N*}，B＝{(x，y)|y＝ax2－ax＋a，x∈N*}，问是否存在非零整数a，使A∩B≠∅？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由．[解析] 假设A∩B≠∅，则方程组有正整数解，消去y得，ax2－(a＋2)x＋a＋1＝0.(*)由Δ≥0，有(a＋2)2－4a(a＋1)≥0，解得－≤a≤.因a为非零整数，∴a＝±1，当a＝－1时，代入(*)，解得x＝0或x＝－1，而x∈N*.故a≠－1.当a＝1时，代入(*)，解得x＝1或x＝2，符合题意．故存在a＝1，使得A∩B≠∅，此时A∩B＝{(1,1)，(2,3)}．7\n考虑到教师工作繁忙，找题选题辛苦及各地用题难易的差别，本书教师用书中提供了部分备选题，供教师在教学时，根据自己教学的实际情况在备课时选用．1．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是( )A．m>－1且n<5B．m<－1且n<5C．m>－1且n>5D．m<－1且n>5[答案] A[解析] ∵P∈A，∴m>－1，又∁UB＝{(x，y)|x＋y－n>0}，P∈∁UB，∴n<5，故选A.2．(2011·辽宁理，2)已知M、N为集合I的非空真子集，且M、N不相等，若N∩∁IM＝∅，则M∪N＝( )A．M B．N C．I D．∅[答案] A[解析] N∩∁IM＝∅，∴N⊆M，∴M∪N＝M.[点评] 此类抽象集合问题画Venn图或者用特例法求解尤其简便．请自己试一下．3．定义差集A－B＝{x|x∈A且x∉B}，现有三个集合A、B、C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可用阴影表示为( )[答案] A[解析] 如图，A－B表示图中阴影部分，因此，C－(A－B)所含元素属于C7\n，但不属于图中阴影部分．4．如图，I是全集，A、B、C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A．(∁IA∩B)∩CB．(∁IB∪A)∩CC．(A∩B)∩∁ICD．(A∩∁IB)∩C[答案] D[解析] 阴影部分在A中，在C中，不在B中，故在∁IB中，因此是A、C、∁IB的交集，故选D.[点评] 解决这类题的要点是逐个集合考察，看阴影部分在哪些集合中，不在哪些集合中，注意不在集合M中时，必在集合M的补集中．5．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|y＝4x}的元素个数为________．[答案] 2[解析] 满足y＝4x的元素为(1,4)，(2,8)．7
