专题一 集合与常用逻辑用语备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、集合的概念与运算1.理解集合的含义,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)表示集合.2.理解集合之间的包含关系,能识别给定集合的子集,在具体问题中了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义,并会求它们的交集与并集;理解给定一个集合的子集的补集含义,会求给定子集的补集;会用韦恩(Venn)图表示集合间的基本关系及运算.1.考查内容:从近五年高考看,本专题重点考查集合的交、并、补运算,所给的数集既有连续型(如2020新高考Ⅰ卷第1题直接给出了两个连续型集合,求它们的并集,而2020课标Ⅰ卷理数第1题则是先求出一元一次、一元二次不等式的解集,后给定了集合交集来求参数的值)、又有离散型的数集(如2020课标Ⅱ卷文数第1题与2020天津卷第1题);对充分条件、必要条件的考查常与其他知识结合(如2020北京卷的第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的推理判断);全(特)称命题的考查相对较少.2.本专题是历年必考的内容,在选择题、填空题中出现较多,多以给定的集合或不等式的解集为载体,以集合语言和符号语言为表现形式,考查集合的交、并、补运算;也会与解不等式、函数的定义域、值域相结合进行考查.3.对于充分、必要条件的判断,含有一个量词的命题的否定可以与每一专题内容相关联,全称命题及特称命题是重要的数学语言,高考考题充分体现了逻辑推理的核心素养.1.对于给定的集合,首先应明确集合的表示方法,对于描述法表述的集合,要明确集合的元素是什么(是数集、点集等),明确集合是不等式的解集,是函数的定义域还是值域,把握集合中元素的属性是重点.2.了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题;通过对概念的理解,会分析四种命题的关系,会写出一个命题的其他三个命题,并判断其真假.能用逻辑联结词正确地表达相关的数学命题.3.对于充分、必要条件的判断问题,必须明确题目中的条件与结论分别是什么,它们之间的互推关系是怎样的,要加强这方面的训练.4.关于全称命题与特称命题,一般考查命题的否定.对含有一个量词的命题进行真假判断,要学会用特值检验.二、常用逻辑用语1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【真题探秘】命题立意已知给定的两个连续型的数集,求它们的并集.
解题指导1.进行集合运算时,首先看集合是否最简,能化简先化简,再运算.2.注意数形结合思想的应用(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解.(2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.拓展延伸1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到,解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意等号能否取到.3.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,关注对空集的讨论,防止漏解.4.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系:二是集合与集合的包含关系.5.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法.[教师专用题组]1.真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养2020新高考Ⅰ,15单项选择题易集合的运算集合的并集运算数轴法数学运算2020新高考Ⅱ,15单项选择题易集合的运算集合的并集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ理,25选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ文,15选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020北京,14选择题易集合的运算集合的交集运算定义法数学运算2020天津,15选择题易集合的运算集合的交、补集运算定义法数学运算2020天津,25选择题易充分、必要条件解不等式、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理2020北京,94选择题难充分、必要条件诱导公式、角的终边位置与角大小关系、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理风格.2.2020年新高考考查内容主要体现在以下方面:①新高考Ⅰ卷第1题,新高考Ⅱ卷第1题直接给出了两个集合求它们的并集或交集,课标Ⅰ卷理数则是需要求出一元一次、一元二次不等式的解集,同时通过它们的交集确定参数的值,北京卷与新高考Ⅰ卷相近,直接求两个给定集合的交集;②2020年新高考Ⅰ卷第5题以学生参加体育锻炼为背景考查了利用韦恩(Venn)图求两个集合交集中元素所占总体的比例问题,体现了集合的应用价值;③2020年北京卷第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的判断.3.在备考时还要适当关注求集合的补集运算,对含有一个量词的命题的真假判断,集合与充分、
必要条件相结合的命题方式,在不同背景下抽象出数学本质的方法等.应强化在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学科素养.§1.1 集合基础篇【基础集训】考点一 集合及其关系1.若用列举法表示集合A=,则下列表示正确的是( )A.A={x=3,y=0} B.A={(3,0)} C.A={3,0} D.A={(0,3)}答案 B2.若集合M={x||x|≤1},N={y|y=x2,|x|≤1},则( )A.M=N B.M⊆N C.M∩N=⌀ D.N⫋M答案 D3.已知集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若B⊆A,则实数a的值为( )A.或- B.-或 C.或-或0 D.-或或0答案 D4.已知含有三个实数的集合既可表示成,又可表示成{a2,a+b,0},则a2021+b2021等于 . 答案 -1考点二 集合的基本运算5.已知集合M={x|-1<x<3},N={x|-2<x<1},则M∩N=( )A.(-2,1) B.(-1,1) C.(1,3) D.(-2,3)答案 B
6.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( )A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}答案 D7.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|lg(x+1)≤1},则(∁RA)∩B=( )A.{x|-1≤x<3} B.{x|-1≤x≤9}C.{x|-1<x≤3} D.{x|-1<x<9}答案 C8.全集U={x|x<10,x∈N*},A⊆U,B⊆U,(∁UB)∩A={1,9},A∩B={3},(∁UA)∩(∁UB)={4,6,7},则A∪B= . 答案 {1,2,3,5,8,9}[教师专用题组]【基础集训】考点一 集合及其关系1.(2018广东茂名化州二模,1)设集合A={-1,0,1},B={x|x>0,x∈A},则B=( )A.{-1,0} B.{-1} C.{0,1} D.{1}答案 D 由题意可知,集合B由集合A中为正数的元素组成,因为集合A={-1,0,1},所以B={1}.2.设集合A={y|y=x2+2x+5,x∈R},有下列说法:①1∉A;②4∈A;③(0,5)∈A.其中正确的说法个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C 易知A={y|y≥4},所以①②都是正确的;(0,5)是点,而集合A中元素是数,所以③是错误的.故选C.3.(2020陕西西安中学第一次月考,1)已知集合A={x|x≥-1},则正确的是( )A.0⊆A B.{0}∈A C.⌀∈A D.{0}⊆A答案 D 对于A,0∈A,故A错误;对于B,{0}⊆A,故B错误;对于C,空集⌀是任何集合的子集,即⌀⊆A,故C错误;对于D,由于集合{0}是集合A的子集,故D正确.故选D.4.(2019辽宁沈阳质量检测三,2)已知集合A={(x,y)|x+y≤2,x,y∈N},则A中元素的个数为( )A.1 B.5 C.6 D.无数个答案 C 由题意得A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},所以A中元素的个数为6.故选C.5.(2020广西桂林十八中8月月考,1)已知集合A={1,a},B={1,2,3},那么( )A.若a=3,则B⊆A B.若a=3,则A⫋BC.若A⊆B,则a=2 D.若A⊆B,则a=3答案 B 当a=3时,A={1,3},又因为B={1,2,3},所以A⫋B.若A⊆B,则a=2或3.故选B.6.(2019辽宁师大附中月考,2)已知集合A={0,1},B={x|x⊆A},则下列集合A与B的关系中正确的是( )A.A⊆B B.A⫋BC.B⫋A D.A∈B答案 D 因为x⊆A,所以B={⌀,{0},{1},{0,1}},则集合A={0,1}是集合B中的一个元素,所以A∈B,故选D.7.(2020安徽江淮十校第一次联考,1)已知集合A=,集合B={x|x2-4≤0},若A∩B=P,则集合P的子集个数为( )A.2 B.4 C.8 D.16答案 B A={y|y≤-2或y≥2},B={-2≤x≤2},则P=A∩B={-2,2},所以P的子集个数为4,故选B.
8.(2019广东六校9月联考,2)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为( )A.{-1} B.{1} C.{-1,1} D.{-1,0,1}答案 D 因为B⊆A,所以当B=⌀,即a=0时满足条件;当B≠⌀时,a≠0,∴B=,又知B⊆A,∴-∈A,∴a=±1.综上可得实数a的所有可能取值集合为{-1,0,1},故选D.易错警示 由于空集是任何集合的子集,又是任何非空集合的真子集,所以遇到“A⊆B或A⫋B且B≠⌀”时,一定要注意讨论A=⌀和A≠⌀两种情况,A=⌀的情况易被忽略,从而导致失分.9.(2019河南豫南九校第一次联考,13)已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是 . 答案 2解析 若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=2,则m=1,此时集合B中的元素不满足互异性,故m≠1;若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.考点二 集合的基本运算1.(2019金丽衢十二校高三第一次联考,1)若集合A=(-∞,5),B=[3,+∞),则(∁RA)∪(∁RB)=( )A.R B.⌀C.[3,5) D.(-∞,3)∪[5,+∞)答案 D ∁RA=[5,+∞),∁RB=(-∞,3),所以(∁RA)∪(∁RB)=(-∞,3)∪[5,+∞).2.(2019河南中原联盟9月联考,1)已知集合A={x|(x-1)·(x-2)>0},B={x|y=},则A∩B=( )A.∪(2,+∞) B.
C.∪(2,+∞) D.R答案 A 因为集合A={x|(x-1)(x-2)>0}={x|x<1或x>2},B={x|y=}=,所以A∩B=∪(2,+∞),故选A.3.(2018河北石家庄3月质检,1)设集合A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},则下列结论正确的是( )A.(∁RA)∩B={x|x<-1} B.A∩B={x|-1<x<0}C.A∪(∁RB)={x|x≥0} D.A∪B={x|x<0}答案 B ∵A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},∴∁RA={x|x≤-1或x>2},∁RB={x|x≥0}.对于选项A,(∁RA)∩B={x|x≤-1},故A错误;对于选项B,A∩B={x|-1<x<0},故B正确;对于选项C,A∪(∁RB)={x|x>-1},故C错误;对于选项D,A∪B={x|x≤2},故D错误.故选B.名师点拨 对于集合的交、并、补运算,利用数轴求解能减少失误.4.(2020山东夏季高考模拟,1)设集合A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|y=x2},则A∩B=( )A.{(1,1)} B.{(-2,4)} C.{(1,1),(-2,4)} D.⌀答案 C 本题主要考查集合的含义及集合的运算.联立消y可得x2+x-2=0,∴x=1或-2,∴方程组的解为或从而A∩B={(1,1),(-2,4)},故选C.5.(2019山东济南外国语学校10月月考,1)已知R为实数集,集合A=,B=,则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{-1}∪[0,1] B. C. D.{-1}∪答案 D ∵>0,∴x≠-1且x(x-1)>0,∴x<-1或-1<x<0或x>1,∴A={x|x<-1或-1<x<0或x>1}.∵(x+1)>0,∴x>或x<-1,∴B=.∴A∪B=.故图中阴影部分表示的集合为∁R(A∪B)={-1}∪,即{-1}∪.故选D.综合篇【综合集训】考法一 集合间基本关系的求解方法1.(2021届江苏扬州二中期初检测,2)已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},则满足A∪B={0,-1,1}的集合B的个数是( )A.4 B.3 C.2 D.1答案 A2.(2020山东滨州6月三模)已知集合M={x|x=4n+1,n∈Z},N={x|x=2n+1,n∈Z},则( )A.M⫋N B.N⫋M C.M∈N D.N∈M答案 A3.(2019辽宁沈阳二中9月月考,14)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22}.若A⊆(A∩B),则实数a的取值范围为 . 答案 (-∞,9]考法二 集合运算问题的求解方法4.(2021届河南郑州一中开学测试,1)已知全集U=R,集合A={x|y=lg(1-x)},B=,则(∁UA)
∩B=( )A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,+∞) D.[1,+∞)答案 D5.(2020浙江超级全能生第一次联考,1)记全集U=R,集合A={x|x2-4≥0},集合B={x|2x≥2},则(∁UA)∩B=( )A.[2,+∞) B.⌀ C.[1,2) D.(1,2)答案 C6.(2021届湖湘名校教育联合体入学考,1)设全集U=A∪B={x|-1≤x<3},A∩(∁UB)={x|2<x<3},则集合B=( )A.{x|-1≤x<2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|2<x<3} D.{x|2≤x<3}答案 B7.(2020山东德州6月二模,1)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4},N={2,3,4},则集合(∁UM)∪(∁UN)等于( )A.{5,6} B.{1,5,6} C.{2,5,6} D.{1,2,5,6}答案 D8.(2021届重庆育才中学入学考试,1)已知集合A={x|0<x<4,x∈Z},集合B={y|y=m2,m∈A},则A∩B=( )A.{1} B.{1,2,3} C.{1,4,9} D.⌀答案 A[教师专用题组]【综合集训】考法一 集合间基本关系的解题方法
1.已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N,则(m-n)2015= . 答案 -1或0解析 因为M=N,所以{1,m}={n,log2n}.当n=1时,log2n=0,则m=0,所以(m-n)2015=-1;当log2n=1时,n=2,则m=2,所以(m-n)2015=0.故(m-n)2015=-1或0.2.已知集合A=,B=,则集合A、B的关系为 . 答案 A=B解析 A=,B=.∵{x|x=2n+1,n∈Z}={x|x=2n+3,n∈Z},∴A=B.故答案为A=B.3.设集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},若A∩B=B,则a的值为 . 答案 0或解析 ∵A∩B=B,∴B⊆A.∵A={-2}≠⌀,∴B=⌀或B≠⌀.当B=⌀时,方程ax+1=0无解,此时a=0,满足B⊆A.当B≠⌀时,a≠0,则B=,∴-∈A,即-=-2,解得a=.综上,a=0或a=.
4.已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3}.若B⊆A,则实数a的取值范围为 . 答案 (-∞,-4)∪(2,+∞)解析 ①当B=⌀时,只需2a>a+3,即a>3;②当B≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴.可得或解得a<-4或2<a≤3.综上可得,实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).考法二 集合运算问题的求解方法1.(2017北京东城二模,1)已知全集U是实数集R.如图所示的韦恩图表示集合M={x|x>2}与N={x|1<x<3}的关系,那么阴影部分所表示的集合为( )A.{x|x<2} B.{x|1<x<2}C.{x|x>3} D.{x|x≤1}答案 D 由题中韦恩图知阴影部分表示的集合是∁U(M∪N).∵M∪N={x|x>1},∴∁U(M∪N)={x|x≤1}.2.(2017安徽淮北第二次模拟,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(∁UN)={x|x=1或x≥3},则( )A.a= B.a≤ C.a=- D.a≥答案 C ∵log2(x-1)<1,∴x-1>0且x-1<2,即1<x<3,则N={x|1<x<3},∵U=R,∴∁UN={x|x≤1或x≥3},又∵M={x|x+2a≥0}={x|x≥-2a},M∩(∁UN)={x|x=1或x≥3},
∴-2a=1,解得a=-.故选C.3.设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁UA)∩B=⌀,则m= . 答案 1或2解析 A={-2,-1},由(∁UA)∩B=⌀,得B⊆A,∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠⌀.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)×(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×(-2)=2,由这两式得m=2.经检验,m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.
