八、机械能1．（2013河南漯河市联考）一个小球在竖直环内至少做N次圆周运动，当它第（N－2）次经过环的最低点时的速度是7m/s；第（N－1）次经过环的最低点时的速度是5m/s，则小球在第N次经过环的最低点时的速度v一定满足（）A．v>1m/sB．v=1m/sC．v<1m/sD．前面三种情况都有可能2．（2013上海徐汇区期末）如图所示，圆心在O点、半径为R的光滑圆弧轨道ABC竖直固定在水平桌面上，OC与OA的夹角为60°，轨道最低点A与桌面相切.一足够长的轻绳两端分别系着质量为m1和m216\n的两小球（均可视为质点），挂在圆弧轨道光滑边缘C的两边，开始时m1位于C点，然后从静止释放。则（）60ºm1CBAROm2（A）在m1由C点下滑到A点的过程中两球速度大小始终相等（B）在m1由C点下滑到A点的过程中重力对m1做功的功率先增大后减少（C）若m1恰好能沿圆弧下滑到A点，则m1＝2m2（D）若m1恰好能沿圆弧下滑到A点，则m1＝3m2 3.（2013广东省茂名市一模）如图所示，物体A、B的质量相等，物体B刚好与地面接触。现剪断绳子OA，下列说法正确的是A．剪断绳子的瞬间，物体A的加速度为gB．弹簧恢复原长时，物体A的速度最大C．剪断绳子后，弹簧、物体A、B和地球组成的系统机械能守恒D．物体运动到最下端时，弹簧的弹性势能最大答案：CD16\n4．（13分）(2013河南平顶山期末)舰载机起降是世界性技术难题，也被比作“刀尖上的舞蹈”，着舰跑道长度只有陆地机场跑道的1/10，尽管航母甲板总长有300多米，但能够提供舰载机起飞、着舰使用的距离只有百米左右，舰载机要在浮动的航母甲板上钩住阻拦索，难度非常大。中国舰载战机“歼-15”成功在“辽宁舰”航空母舰上完成起降着舰，为航母战斗力的组建迈出重要一步。某同学为了研究“歼-15”舰载机的起飞过程，把其运动过程简化如下：其轨道由长为L=1.5m的水平轨道AB和圆弧轨道BC相接，圆弧轨道半径R=2m，圆心在B点正上方O处，弧BC所对的圆心角为θ=370，具有动力装置的玩具小车质量为m=1kg，从A点开始以恒定功率P=10W由静止开始启动，运动至B点时撤去动力，小车沿圆弧轨道继续运动至C点时对轨道的压力为FN=26N，整个过程所受阻力恒为f=0.1mg（取g=10m/s2，sin370=0.6,cos370=0.8）.求：（1）动力小车运动至C点时的速度V的大小（2）求小车加速运动的时间t.解析：（1）对小车在C点时受力分析如图所示，则其向心力由支持力和重力的分力提供，由牛顿第二定律可得：16\n--------------------------------（4分）解得：V=6m/s-------------------------------------（2分）（2）选小车为研究对象，在小车从A运动到C的过程中，由动能定理可得：----------------（4分）其中s为圆弧BC的长度，根据几何关系可得：---------------------------（2分）联立可得：t=2.48s（1分）5.（10分）（2013上海市普陀区期末）如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径R=1m，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点为光滑轨道的最高点且在O的正上方。一小球在A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰好能通过B点（从A点进入圆轨道时无机械能损失），最后落到水平面C点处。求：（1）小球通过轨道B点的速度大小。（2）释放点距A点的竖直高度。（3）落点C到A点的水平距离。16\n6.（20分）（2013四川攀枝花第二次统考）如图所示，静放在水平面上的圆形（半径为R）光滑管道ABC，C为最高点，B为最低点,管道在竖直面内。管道内放一小球，小球可在管道内自由移动，现用一装置将小球锁定在P点，过P点的半径OP与竖直方向的夹角为θ。现对管道施加一水平向右的恒力F，同时解除对小球的锁定，管道沿水平面向右做匀加速运动，小球相对管道仍保持静止。经过一段时间后管道遇一障碍物突然停止运动，小球能到达管道的A点。重力加速度为g，小球及管道大小不计。求：16\n（1）恒力作用下圆形管道运动的加速度；（2）圆形管道从开始运动到突然停止过程中运动距离的可能值。FAOCBPθR解：(1)小球受力如图，由力合成的平行四边形定则及牛顿第二定律得： （2分）θNmgF合 （1分）（2）设圆形管道从开始运动到突然停止，停止前速度为，由匀变速运动公式得： （2分）圆形管道停止时，小球沿管道半径方向的速度变为零，沿切线方向的速度保持不变，小球能运动到管道右侧圆心上方至最高点C之间的区域则可到达A点，或从C点飞出做平抛运动到达A点。若小球能运动到管道右侧圆心上方至最高点C之间的区域，则由机械能守恒得： （5分）联立以上相关各式得： （2分）若小球从C点飞出做平抛运动到达A点，则由机械能守恒及平抛运动规律得：16\n （2分） （3分）联立以上相关各式得： （2分）圆形管道从开始运动到突然停止过程中运动距离的可能值为： 及 （1分）7、（2013上海市嘉定区期末）如图a所示，竖直光滑杆固定不动，上面套有下端接触地面的轻弹簧和一个小物体。将小物体在一定高度静止释放，通过传感器测量到小物体的速度和离地高度h并做出其动能-高度图b。其中高度从0.35m下降到0.3m范围内图像为直线，其余部分为曲线。以地面为零势能面，根据图像求：（1）小物体的质量m为多少？（2）轻弹簧弹性势能最大时，小物体的动能与重力势能之和为多大？0.10.20.3h/m0.00.51.0Ek/Jhab（3）把小物体和轻弹簧作为一个系统研究，系统具有的最小势能为多少？16\n8．（14分）（2013上海市金山区期末）半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和m的小球A和B。A、B之间用一长为R的轻杆相连，如图所示。开始时，A、B都静止，且A在圆环的最高点，现将A、B释放，试求：（1）B球到达最低点时的速度大小；（2）B球到达最低点的过程中，杆对A球做的功；（3）B球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置。16\nAHBCθhdB′C′h′9．（14分）（2013上海市松江区期末）水上滑梯可简化成如图所示的模型：倾角为θ=37°斜滑道AB和水平滑道BC平滑连接，起点A距水面的高度H=7.0m，BC长d=2.0m，端点C距水面的高度h=1.0m.一质量m=50kg的运动员从滑道起点A点无初速地自由滑下,运动员与AB、BC间的动摩擦因数均为μ=0.10，（cos37°=0.8，sin37°16\n=0.6，运动员在运动过程中可视为质点）求：（1）运动员沿AB下滑时加速度的大小a；（2）运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功W和到达C点时速度的大小υ；（3）保持水平滑道端点在同一竖直线上，调节水平滑道高度h和长度d到图中B′C′位置时，运动员从滑梯平抛到水面的水平位移最大，求此时滑道B′C′距水面的高度h′。解：（1）运动员沿AB下滑时，受力情况如图所示mgFNFf（1分）根据牛顿第二定律：（2分）得运动员沿AB下滑时加速度的大小为：a=gsinθ－μgcosθ=5.2m/s2（1分）（直接用此式可得4分）（2）运动员从A滑到C的过程中，克服摩擦力做功为：,（2分）（求出一个表面的功可得2分，用三个式子之一都得满分），（2分）得运动员滑到C点时速度的大小v=10m/s（1分）（3）在从C点滑出至落到水面的过程中，运动员做平抛运动的时间为t，，下滑过程中克服摩擦做功保持不变W=500J根据动能定理得：16\n，运动员在水平方向的位移：当时，水平位移最大10、（15分）（2013安徽省黄山市一模）如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L＝3m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，AB、CD与两圆弧形轨道相切，BQC的半径为r＝1m，APD的半径为R=2m，O2A、O1B与竖直方向的夹角均为q＝37°。现有一质量为m＝1kg的小球穿在滑轨上，以Ek0的初动能从B点开始沿AB向上运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ＝，设小球经过轨道连接处均无能量损失。（g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求：（1）要使小球能够通过弧形轨道APD的最高点，初动能EK0至少多大？（2）求小球第二次到达D点时的动能；（3）小球在CD段上运动的总路程。（第（2）（3）两问中的EK0取第（1）问中的数值）解析：（1）小球至少需要越过弧形轨道APD的最高点，根据动能定理：16\n……（2分）代入解得Ek0＝30J…………（2分）（2）从B点出发到小球第一次回到B点的过程中，根据动能定理：……（1分）解得：EkB=12J。小球沿AB向上运动到最高点，距离B点为s，则有：EkB=mmgscosq+mgssinq，……（2分）解得s=18/13（m）…（1分）小球继续向下运动，当小球第二次到达D点时动能为EKD，……（1分）解得：J……（2分）11．（7分）（2013福建三明市联考）如图甲所示，一半径R＝1m、圆心角等于143°的竖直圆弧形光滑轨道，与斜面相切于B处，圆弧轨道的最高点为M，斜面倾角θ＝37°，t＝0时刻有一物块从斜面底端A处沿斜面上滑，其在斜面上运动的速度变化规律如图乙所示．若物块恰能到达M点，(取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，求：16\n(1)物块经过B点时的速度；(2)物块与斜面间的动摩擦因数μ.解：由题意知：在M点，mg＝m，mgR(1＋cos37°)＝mv－mv，代入数据可求得：vB＝m/s。(2)v－t图可知物块运动的加速度 a＝10m/s2，由牛顿第二定律得：mgsin37°＋μmgcos37°＝ma，∴物块与斜面间的动摩擦因数μ＝＝0.5。12.（18分）（2013广东省佛山市质检）如图所示，倾斜轨道AB的倾角为37o，CD、EF轨道水平，AB与CD通过光滑圆弧管道BC连接，CD右端与竖直光滑圆周轨道相连。小球可以从D进入该轨道，沿轨道内侧运动，从E滑出该轨道进入EF水平轨道。a、b为两完全相16\n同的小球，a球由静止从A点释放，在C处与b球发生弹性碰撞。已知AB长为5R，CD长为R，重力加速度为g，小球与斜轨AB及水平轨道CD、EF的动摩擦因数均为0.5，sin37o=0.6，cos37o=0.8，圆弧管道BC入口B与出口C的高度差为1.8R。求：⑴a球滑到斜面底端C时速度为多大？a、b球在C处碰后速度各为多少？⑵要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R’应该满足什么条件？若R’=2.5R，两球最后所停位置距D（或E）多远？注：在运算中，根号中的数值无需算出。．解析：（1）设a球到达C点时速度为v，a球从A运动至C过程，由动能定理有①可得②a、b球在C发生弹性碰撞，系统动量守恒，机械能守恒，设a、b碰后瞬间速度分别为va、vb，则有 ③ ④由②③④可得⑤可知，a、b碰后交换速度，a静止，b向右运动。（2）要使小球b脱离轨道，有两种情况：16\n情况一：小球b能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道。则小球b在最高点P应满足⑥小球b碰后直到P点过程，由动能定理，有⑦由⑤⑥⑦式，可得情况二：小球b上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D。则由动能定理有⑧由⑤⑧式，可得16\n16
